Wellen

Bei der erzwungenen Anregung von Oszillatoren (Resonanz) hatten wir zwei schwingungsfähige Körper miteinander gekoppelt, indem man den ersten schwingungsfähigen Körper (Oszillator) eine Kraft auf seine Nachbarn ausüben lässt. Dies kann man auch auf mehrere Körper erweitern.

Ein anderes Beispiel dafür sind kleine Kugeln die auf einem elastischen Gummiband in gleichen Abständen festgemacht wurden. Wenn der erste Oszillator aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird, übt er über das Gummiband eine Kraft auf den Nachbarkörper aus, der sich dann auch in Bewegung setzt. Der zweite Oszillator übt eine Kraft auf den dritten aus, dieser auf den vierten, usw. Die Schwingung des ersten Oszillators wird durch die Kraftwirkung des Gummibands zeitverzögert auf die Nachbarn übertragen, so dass bald alle Körper auf dem Gummiband in Schwingung geraten sind.

In einer Animation können Sie das Verhalten solcher gekoppelter Oszillatoren studieren.

• Stellen Sie folgende Parameter ein, um eine verkettete Schwingung zu erzeugen: oben links: oszillieren, oben rechts: kein Ende, unten Mitte: Zeitlupe. 
• Beobachten Sie die Bewegung der einzelnen Oszillatoren und die Veränderung des Gummiseils zwischen den Oszillatoren.
• Verändern Sie bei ansonsten gleichen Parametern die Spannung auf gering und beobachten Sie die Auswirkung auf die Bewegung der Oszillatoren.

Ergebnis: 

Oszillatoren (hier: Kugeln), die aufeinander eine Kraft ausüben, so dass Energie von Oszillator zu Oszillator übertragen wird, bilden zusammen eine Welle. Die Oszillatoren bewegen sich alle ähnlich allerdings zeitlich versetzt und die Amplitude der Schwingung wird geringer, je weiter entfernt die Oszillatoren vom ersten entfernt sind. Das liegt an der Reibung, so dass Energie in Form von Wärme an die Umgebung abgegeben wird.

Wenn die Spannung in der Simulation auf gering gestellt wird, muss das Gummiseil erst sehr stark gespannt werden, bis eine deutliche Kraftwirkung beobachtet werden kann (die Federkonstante des Gummiseils ist klein). Die Bewegung des zweiten Oszillators folgt der Bewegung des ersten also mit einer deutlichen zeitlichen Verzögerung. Wenn im Extremfall eine beliebig große Kraft wirkt, ist keine zeitliche Verzögerung zu beobachten und die Kugel bewegen sich wie bei einer festen Stange simultan auf und ab.

Oszillatoren, die miteinander wechselwirken, so dass Energie von Oszillator zu Oszillator übertragen wird, bilden zusammen eine Welle.

In der folgenden Simulation können Sie diese unterschiedlichen Wellenarten studieren.

• Eine Welle, bei der die Oszillatoren unverändert an ihrer x-Position bleiben und in y-Richtung um ihre Ruhelage schwingen, nennt man eine transversale Welle (Querwelle). Beispiel: Seilwelle.
• Querwellen (Transversalwellen):  Bei Transversalwellen ist die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung:

• Eine Welle, bei der die Oszillatoren unverändert an ihrer y-Position bleiben und in x-Richtung um ihre Ruhelage schwingen, nennt man eine longitudinale Welle (Längswelle). Beispiel: Schallwelle
• Längswellen (Longitudinalwellen): Bei Longitudinalwellen  sind Schwingungs- und Ausbreitungsrichtung parallel.

• Eine Welle, bei der die Oszillatoren sowohl in y-Richtung als auch in x-Richtung um ihre Ruhelage schwingen, nennt man z.B. eine Kreiswelle. Beispiel: Eine Wasserwelle ist in guter Näherung eine Kreiswelle.

Räumliche Ausbreitung

Wenn Oszillatoren sich nicht nur auf einer Schnur aufgereiht bewegen können, kann die Energie des ersten Oszillators in eine Ebene oder sogar in den Raum an benachbarte Oszillatoren übertragen werden. Es entstehen dann ebene Wellen oder räumliche Wellen.

Eine ebene Welle ist z.B. eine Wasserwelle, bei der die Wasseroberfläche schwingt. Eine räumliche Welle ist z.B. eine Schallwelle, bei der sich die Schwingung im gesamten Raum ausbreitet

Und die nächste Animation

1. Klicken Sie auf Wellen und stellen Sie folgende Parameter ein: Kasten rechts: Wasserwelle (Symbol Wasserhahn). Klicken Sie dann auf den grünen Knopf am Wasserhahn. Beobachten Sie die Ausbreitung der Schwingung in der Ebene. Klicken Sie unten links auf: von der Seite. Beobachten Sie die Schwingung der Wasseroberfläche.
2. Stellen Sie folgende Parameter ein: Kasten rechts: Schallwelle (Symbol Lautsprecher). Klicken Sie dann auf den grünen Knopf am Lautsprecher. Beobachten Sie die Ausbreitung der Schwingung im Raum. Klicken Sie unten links auf: von der Seite. Beobachten Sie, dass auch die Sicht von der Seite eine räumliche Ausdehnung ist.
3. Stellen Sie folgende Parameter ein: Kasten rechts: Schallwelle. Aktivieren Sie rechts im Kasten Beide um die Welle und die Luftmoleküle anzeigen zu lassen. Klicken Sie dann auf den grünen Knopf am Lautsprecher. Beobachten Sie die longitudinale Schwingung der Luftmoleküle um ihre jeweilige Ruhelage. Beobachten Sie die Amplitude der Schwingung abhängig von der Entfernung zu Lautsprecher.

Auf einer Wellenfront liegen alle Punkte mit gleicher Phase bzw. gleicher Laufzeit von der Quelle aus. Bei ebenen Wellen sind die Wellenfronten Geraden, bei Kugel bzw. Kreiswellen entsprechend Kugeln bzw. Kreise.

Zusammenfassung

Die Ausbreitung einer Schwingung im Raum bezeichnet man als Welle.

Die Auslenkung befindet sich zu jedem Zeitpunkt an einem anderen Ort.

Man kann also sagen: Eine Welle ist eine zeitlich und räumlich periodische Änderung physikalischer Größen.

Außerdem gilt: Mit einer Welle wird Energie (und Impuls) übertragen, jedoch kein Stoff transportiert.

Wir unterteilen Wellen nach der Richtung, in der sich die Teilchen im Medium bewegen, in Transversalwellen (Querwellen), Longitudinalwellen (Längswellen) und Kreiswellen.

Da es sich bei einer Welle um eine sich im Raum ausbreitenden Schwingung handelt, können die Größen, die bereits zur Beschreibung von Schwingungen genutzt wurden, auch zur Beschreibung von Wellen dienen.

Die gleiche Bezeichnung und Bedeutung wie bei Schwingungen haben die Größen

Elongation (Auslenkung $y$)
 

Amplitude  ($\hat{y}$)
 

Schwingungsdauer  (T)
 

Frequenz  (f)
 

Zusätzlich muss auch die Ausbreitung mit einbezogen werden. Diese erfolgt mit einer bestimmten Geschwindigkeit, der Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Den Abstand zwischen zwei benachbarten Wellenbergen oder -tälern bezeichnet man als Wellenlänge $\lambda$:

Größen zur Beschreibung der Ausbreitung von Wellen

Zur Beschreibung der räumliche Ausbreitung von Wellen dienen zusätzlich zu den Größen zur Beschreibung von Schwingungen die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Wellenlänge.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit oder Phasengeschwindigkeit c einer Welle ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine bestimmte Phase, z.B. ein Wellenberg oder ein Wellental, im Raum ausbreitet.

Einheit der Ausbreitungsgeschwindigkeit: m/s

Die Wellenlänge $\lambda$ („lambda“) ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Wellenbergen oder Wellentälern (oder zwei beliebigen gleichen Phasen).

Einheit der Wellenlänge: m

Hinweis:

Manchmal wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit wie andere Geschwindigkeiten mit v bezeichnet. Üblich für Wellen ist jedoch die Bezeichnung c.

Zwei Oszillatoren im Abstand einer Wellenlänge schwingen immer in Phase, das heißt, sie haben den gleichen Schwingungszustand.

Zusammenhang zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz

Animation

Zwischen diesen drei Größen gibt es einen einfachen Zusammenhang:

Innerhalb einer Periodendauer T erfolgt ein kompletter Schwingungsvorgang. In dieser Zeit legt die Welle genau die Strecke einer Wellenlänge zurück.

Damit gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c=\dfrac{\lambda}{T}$     bzw. mit der Frequenz ausgedrückt      $c=\lambda \cdot f$ 

Grundgleichung der Wellenausbreitung:  Für alle Arten von Wellen gilt: $c=\lambda \cdot f$.

Wir betrachten im folgenden harmonische Wellen. Das sind Wellen, deren Oszillatoren durch rotierende Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit modelliert werden können.

Die Schwingung eines jeden einzelnen Oszillators der Welle kann mit folgender Sinusfunktion beschrieben werden:

$s(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t) = A \cdot \sin(2 \pi \cdot f \cdot t) = A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right )$

mit Auslenkung $s$, Amplitude $A$, Winkelgeschwindigkeit $\omega$, Frequenz $f$, Periodendauer $T$, Zeit $t$.

Zwischen den Oszillatoren wirkt eine Kraft, so dass aufgrund der Auslenkung des ersten Oszillators der zweite ausgelenkt wird, deswegen der dritte, ... Man sagt auch, dass sich die Störung bzw. Phase ausbreitet. Die Geschwindigkeit $c$ (Phasengeschwindigkeit), mit der sich die Phase ausbreitet, hängt von der Größe der Kopplungskraft ab. Je größer diese ist, desto schneller breitet sich die Phase aus. Wenn die Phase einen Ort erreicht hat, beginnt der Oszillator, der sich an diesem Ort befindet an zu schwingen.

Für die Phasengeschwindigkeit $c$ gilt  $c = \frac{x_1}{t_1}$. Diese Gleichung löst man nach der Zeit auf. Ein Oszillator, der sich in der Entfernung $x_1$vom ersten Oszillator befindet, beginnt nach der Zeit $t_1$

an zu schwingen. Es gilt: $t_1 = \frac{x_1}{c}$

Der Oszillator am Ort $x_1$schwingt genauso wie der erste Oszillator, aber beginnt seine Schwingung später, nämlich zum Zeitpunkt $t-t_1$, wenn man mit die Zeit $t$ angibt, die vergangen ist, nachdem der erste Oszillator seine Schwingung begonnen hat. Die Schwingungsgleichung für den Oszillator am Ort $x_1$lautet dann:  s_\text{x_1}(t) = A \cdot \sin \left(\omega \cdot (t - t_1) \right)

Diese Gleichung soll jetzt so weiter entwickelt werden, dass man damit die Schwingung eines jeden Oszillators der Welle modellieren kann. Dazu wird die Zeit  $t_1$, welche die Welle benötigt um einen Ort $x_1$zu erreichen, ersetzt mit $t_1 = \frac{x_1}{c}$:

s_\text{x_1}(t) = A \cdot \sin \left(\omega \cdot \left( t - \frac{x_1}{c} \right) \right)

Wenn man diese Gleichung auf jeden Ort $x$ der Welle anwenden möchte, ersetzt man $x_1$ allgemein mit $x$und fügt als zweite Variable in das Argument der Auslenkung $s$ ein:

$s(x, t) = A \cdot \sin \left(\omega \cdot \left( t - \frac{x}{c} \right) \right)$

Für die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gilt: $\omega = \frac{2 \pi}{T}$, so dass folgt:

$s(x, t) = A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot \left( t - \frac{x}{c} \right) \right)$

Der Abstand zweier Oszillatoren einer Welle, die genau gleich schwingen, nennt man die Wellenlänge $\lambda$ der Welle. In der Periodendauer $T$, also der Zeit, die ein Oszillator für eine vollständige Schwingung benötigt, legt die Phase der Welle genau eine Wellenlänge $\lambda$ zurück (siehe folgende Simulation).

Es gilt also: $c = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\lambda}{T}$ und damit gilt für den Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit $c$, Periodendauer $T$, Frequenz $f$ und Wellenlänge $\lambda$:

$\lambda = c \cdot T = c \cdot \frac{1}{f} \,\,\,\, \text{oder} \,\,\,\ c = \lambda \cdot f$

In der Wellengleichung kann man die innere Klammer mit der Periodendauer $T$ ausmultiplizieren und mit $\lambda$ ersetzen:

\begin{align}     s(x, t) &= A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot \left( t - \frac{x}{c} \right) \right) \\             &= A \cdot \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{c \cdot T} \right) \right) \\             &= A \cdot \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) \end{align}

Mit Hilfe dieser Wellengleichung kann die Auslenkung $s(x,t)$ eines Oszillators am Ort zum Zeitpunkt $t$ berechnet werden:

$s(x,t) = A \cdot \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right)$

In der folgenden Simulation können Sie die Wellengleichung und die Bedeutung der Parameter in der Wellengleichung studieren.

Das HUYGENSsche Prinzip bzw. die HUYGENSsche Modellvorstellung geht auf den holländischen Naturgelehrten Christian Huygens (1629 – 1695) zurück. Huygens gilt als Begründer der Wellentheorie des Lichtes. Begriffe Wellenfront (in der Ebene): Alle Punkte auf einer Kurve, die die gleiche Laufzeit zum Sender haben. Bei einer geraden Wellenfront liegen diese Punkte auf einer Geraden. Bei einer punktförmigen Quelle, ist die Wellenfront kreisförmig. Alle Punkte der Wellenfront besitzen die gleiche Phase. Wenn wir die räumliche Ausdehnung der Welle betrachten, dann bilden die Punkte der Wellenfront eine Fläche. Wellennormalen: Wellensnormalen verlaufen senkrecht zu den Wellenfronten. Sie verlaufen in Ausbreitungsrichtung der Welle. Elementarwelle: Die Elementarwelle ist eine Welle, die sich kreis- bzw. kugelförmig um ihr Zentrum ausbreitet.

Das Huygenssche Prinzip besagt,  dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle betrachtet kann.  Die Überlagerung dieser Elementarwellen  ergibt die neue Wellenfront. 

Nachfolgend werden einige typische Wellenphänomene beschrieben, die mit Hilfe des Huygensschen Prinzips erklärt werden können. Diese Phänomene lassen sich bei allen Arten von Wellen nachweisen.

Reflexion

Trifft eine Welle auf eine ebene Oberfläche, dann wird sie reflektiert.

Es gilt das Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Reflexionswinkel: α = β).

Brechung

Trifft eine Welle unter einem Winkel α ≠ 0 auf einen Bereich, in dem sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert (bei Wasserwellen durch Veränderung der Wassertiefe), so ändert sich ihre Ausbreitungsrichtung.

Es gilt das Brechungsgesetz:       $\dfrac {n_{2}}{n_{1}}=n=\dfrac {sin \alpha}{sin \beta}=\dfrac {c_{1}}{c_{2}}$

Dabei ist n die Brechungszahl und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen in den Medien 1 und 2.

(Dieses Gesetz gilt ebenso für die Brechung von Licht.)

Beugung

Trifft eine Welle auf eine Kante oder einen Spalt, ändert sich ihre Richtung, und die Welle dringt auch in den sog. Schattenraum ein. Diese Erscheinung nennt man Beugung.

Aus der Mechanik wissen wir, wenn auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte $\vec{F_1},\vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ wirken,  so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \ldots + \vec{F_n}$. Dies nennt man Superpositions- oder auch Überlagerungsprinzip der Kräfte.

Gleiches gilt auch für die Amplituden von Wellen. Das Superpositionsprinzip bedeutet hier, dass Wellen sich überlagern können, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.

 Die resultierende Welle kann für jeden Ort als Funktion (meist als Summe) der verursachenden Wellen angegeben werden. Hier ein entsprechender Versuch:

Sollten die sich überlagernden Wellen die gleiche Frequenz und eine bestimmte feste Phasenbeziehung aufweisen, so können sich zwei besondere Überlagerungen ergeben.

Konstruktive Interferenz tritt dann auf, wenn der Gangunterschied der beiden Wellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist, somit trifft immer ein Wellenberg auf einen Wellenberg und ein Wellental auf ein Wellental. Haben beide Wellen dieselbe Amplitude so führt konstruktive Interferenz zu einer doppelt so großen Amplitude (Gangunterschiede/Phasendifferenz: Δ φ = 0, 2π, 4π, 6π....).

Destruktive Interferenz hier beträgt der Gangunterschied immer nur ein Vielfaches der halben Wellenlänge; die beiden Wellen schwingen also gegenphasig. Es treffen somit immer Wellenberg auf Wellental und umgekehrt. Die resultierende Welle ist daher kleiner als bei den beiden ursprünglichen Wellen - daher der Name destruktive Interferenz. Haben beide Wellen dieselbe Amplitude, so löschen sie sich sogar gänzlich aus. (Gangunterschiede/Phasendifferenz: Δ φ = π, 3π, 5π, 7π....

Spannend wird es, wenn sich Überlagerung und Reflexion beeinflussen. Vorweg noch einige Besonderheiten der Reflexion.

1. Fall: Störung trifft auf ein „festes Ende“  

Trifft eine von links nach rechts laufende Störung auf ein festes Ende, so wird sie dort reflektiert  und läuft zurück. Ein Wellenberg wird dabei als Wellental reflektiert (Phasenumkehr bzw.  Phasensprung).  

Beispiel: Seilwelle breitet sich aus und trifft auf ein festes Ende (Seil ist am anderen Ende  angebunden!). 

Animation 

2. Fall: Störung trifft auf ein „loses Ende“  

Trifft eine von links nach rechts laufende Störung auf ein loses Ende, so wird sie dort reflektiert  und läuft ebenfalls zurück. Ein Wellenberg wird dabei auch als Wellenberg reflektiert.  

Beispiel: Seilwelle breitet sich aus und trifft auf ein loses Ende (Seil ist am anderen Ende frei  beweglich!). 

Animation

Wir wollen aber nun nicht nur eine einzige Störung, sondern eine sich ausbreitende Welle  betrachten, die auf ein loses bzw. festes Ende trifft.  

 1. Fall. Welle trifft auf ein „festes Ende“  

Trifft eine von links nach rechts laufende Welle auf ein festes Ende, so wird sie dort reflektiert  und läuft zurück. Die zurücklaufende Welle hat dabei einen Phasensprung, d.h. ein Wellenberg  

der einlaufenden Welle wird bei der zurücklaufenden Welle zu einem Wellental.   

Die Wellenbilder der nach rechts laufenden und der reflektierten nach links laufenden Welle  sehen  dann so aus: Ein Wellenberg wird zu einem Wellental! Die Überlagerung  führt hier zur Auslöschung- 

Dass ein Wellenberg zu einem Wellental wird, funktioniert nur dann so, wenn man ein  Wellenbild betrachtet in welchem ein Wellenberg gerade auf das feste Ende trifft. 

Doch wie erhält man das Wellenbild der reflektierten Welle ganz allgemein?  Dazu stellt man sich einfach vor, dass die nach rechts laufende Welle über das feste Ende hinweg  weiter laufen würde (gestrichelte schwarze Linie). Diese spiegelt man nun punktweise im Ursprung (Mitte des festen Endes). Alternativ können auch zwei nacheinander folgende Achsenspiegelungen (x-Achse und Achse des festen Endes) betrachtet werden. Dann erhält man das Wellenbild der  nach links laufenden (reflektierten Welle) Welle (rote Linie) . Die Überlagerung ergibt sich durch die Addition der Elongationen.

2. Fall. Welle trifft auf ein „loses Ende“  

Trifft eine von links nach rechts laufende Welle auf ein loses Ende, so wird sie dort reflektiert  und läuft ebenfalls zurück. Die zurücklaufende Welle hat dabei keinen Phasensprung, d.h. ein  Wellenberg der einlaufenden Welle bleibt bei der zurücklaufenden Welle ein Wellenberg.  

Doch wie erhält man das Wellenbild der an einem losen Ende reflektierten Welle ganz  allgemein?  Dazu stellt man sich einfach vor, dass die nach rechts laufende Welle über das lose Ende hinweg  weiter laufen würde (gestrichelte schwarze Linie). Diese spiegelt nun nur an dem Achse des „losen Endes“.  Dann erhält man das Wellenbild der nach links laufenden (reflektierten Welle) Welle (rote Linie) 

Wir betrachten eine Situation, bei welcher sich zwei Wellenzüge eindimensional aufeinander zu bewegen (dies geht also auch durch Reflexion) und sich auf einer bestimmten Strecke überlagern. Wenn beide Wellenzüge die gleiche Frequenz, gleiche Phasengeschwindigkeit und gleiche Amplitude haben, bildet sich bei der Überlagerung eine regelmäßige stehende Welle:

• an manchen Orten verstärken sich die beiden Wellenzüge immer: es entstehen Maxima, die mit doppelter Amplitude schwingen (Schwingungsbauch).

• an manchen Stellen löschen sich die beiden Wellenzüge immer aus: es entstehen Minima ohne beobachtbare Schwingung (Schwingungsknoten).

Am Ort eines Maximums gibt es zu einem Wellenberg der Welle 1 immer ein Wellenberg der Welle 2 und wenn ein Wellental von Welle 1 am Ort des Maximums ist, gibt es an der gleichen Stelle immer einen Wellental von Welle 2. Der Abstand zwischen zwei Maxima bzw. zwei Minima beträgt eine halbe Wellenlänge, also $\frac{\lambda}{2}$.

Unterschiede zwischen einer fortschreitenden und einer stehenden Welle 

Das Kundtsche Interferenzrohr

Das Kundtsche Interferenzohr ist ein Glasrohr, in das eine geringe Menge eines sehr leichten Materials (Korkmehl, Styroporkügelchen,...) eingefüllt wird. Das Material wird auf die gesamte Länge des Rohrs verteilt und sammelt sich aufgrund der Schwerkraft unten im Glasrohr.

Auf der einen Seite des Glasrohrs wird ein Lautsprecher angebracht, der einen Sinus-Ton mit nur einer einzigen Tonhöhe (Frequenz $f$) aussendet. Eine solche Schallwelle ist eine longitudinale Welle, bei welcher die Luftmoleküle in Ausbreitungsrichtung um ihre Ruhelage schwingen. Auf der anderen Seite des Glasrohrs befindet sich ein bewegliches Hindernis (Stempel), an welchem die Schallwelle reflektiert wird.

Am Stempel können sich die Moleküle im Festkörper kaum bewegen, weswegen die Luftmoleküle nur sehr wenig Energie an die Festkörpermoleküle übertragen können. Die Schwingung wird mit einem Phasensprung von $\pi$ reflektiert. Die virtuellen Oszillatoren schwingen am Stempel in entgegengesetzter Phase, so dass ein Schwingungsknoten entsteht und der reale Oszillator nicht schwingt. Die reflektierte Welle bewegt sich durch das Glasrohr zurück zum Lautsprecher.

Wenn der Lautsprecher eingeschaltet ist, schwingen die Luftmoleküle um ihre Ruhelage. Nur die Schallwelle, also die Schwingungsenergie bewegt sich durch das Glasrohr vom Lautsprecher zum Stempel und zurück. Die vom Lautsprecher ausgesandte Welle und die am Stempel reflektierte Welle überlagern sich im Glasrohr. Um diese Überlagerung zu modellieren, denken wir uns an jedem Punkt im Glasrohr zwei virtuelle Oszillatoren. Der eine virtuelle Oszillator gehört zur Welle, die vom Lautsprecher ausgesendet wird und der andere virtuelle Oszillator gehört zur Welle, die am Stempel reflektiert wird. Die Interferenz zweier longitudinaler Wellen kann man nur schwer darstellen. Deswegen denken wir uns die Schallwelle als Transversalwelle und lassen die virtuellen Oszillatoren quer zur Ausbreitungsrichtung schwingen. Nachdem die Interferenz fertig modelliert ist, können wir die Schwingung des realen Oszillators wieder longitudinal in Ausbreitungsrichtung denken.

Wenn die Lautsprecherwelle und die reflektierte Welle eine Länge haben, so dass am offenen Ende beim Lautsprecher ein Minimum (Schwingungsknoten) entsteht, kann nur sehr wenig Energie in das Rohr transportiert werden. Die Schwingungsamplitude im Rohr ist gering.

Einen Schwingungsknoten (Minimum) beim Lautsprecher beobachtet man immer dann, wenn die Entfernung zwischen dem offenen Ende und dem Stempel ein geradzahliges Vielfaches der Viertel-Wellenlänge ist.

Wenn die Lautsprecherwelle und die reflektierte Welle eine Länge haben, so dass am offenen Ende beim Lautsprecher ein Maximum (Schwingungsbauch) entsteht, kann sehr viel Energie in das Rohr transportiert werden und die Schwingungsamplitude im Rohr ist maximal. Die Lautsprecherwelle und die reflektierte Welle schwingen in Resonanz.

Einen Schwingungsbauch (Maximum) beim Lautsprecher beobachtet man immer dann, wenn die Entfernung zwischen dem offenen Ende und dem Stempel ein ungeradzahliges Vielfaches der Viertel-Wellenlänge ist.

Bestimmung der Wellenlänge mit dem Kundtschen Rohr:

• Man stellt den Stempel so ein, dass die stehende Welle in Resonanz schwingt.
• Die Bestandteile des leichten Materials (z.B. Korkmehl) werden von den stark schwingenden Luftmolekülen bewegt. Das Korkmehl sammelt sich vor allem an den Stellen, wo die stehende Welle nicht schwingt (Minima). Man misst die Entfernung zweier Anhäufungen des Korkmehls, um die Entfernung $d$ zweier Minima zu bestimmen. Um die Genauigkeit der Messung zu verbessern, misst man die Entfernung $x$ von $n$Minima und teilt diese Entfernung durch $n:$ $d = \frac{x}{n}$  bei n Minima.

• Die Entfernung von einem Minimum zum nächsten Minimum entspricht bei einer stehenden Welle einer halben Wellenlänge. Wenn die Entfernung zweier Minima ist, dann gilt für die Wellenlänge $\lambda = 2 \cdot d$ .
• Nachdem man die Wellenlänge bestimmt hat, kann man die Schallgeschwindigkeit $c$ berechnen. Dazu muss die Frequenz $f$des Lautsprechers bekannt sein: $v$

Die Entstehung einer stehenden Welle in einem Kundtschen Rohr, die in Resonanz schwingt, so dass Ansammlungen des leichten Materials entstehen, können Sie in folgender Simulation nachvollziehen.

Animation

Versuch Kundtsches Rohr

Eigenschwingungen eines Wellenträgers mit zwei festen (losen) Enden

Die folgenden Abbildungen zeigen die Bedingungen für das Entstehen einer stehenden Welle bei zwei festen Enden. Der Abstand der beiden festen Enden entspricht der Länge $l$ des Systems:

Grundschwingung (1. Harmonische)     $l=\dfrac {1}{2}\lambda_{1}$    Daraus folgt  $\lambda_{1}=2\cdot l$  und mit $f_1=\frac{c}{\lambda_1}=\frac{c}{2 \cdot l}$

1. Oberschwingung (2. Harmonische): $l=\dfrac {2}{2}\lambda_{2}$   Daraus folgt  $\lambda_{2}=\frac{2\cdot l }{2}$  und mit $f_2=\frac{c}{\lambda_2}=\frac{2 \cdot c}{2 \cdot l}=2\cdot f_1$

2. Oberschwingung (3. Harmonische ) : $l=\dfrac {3}{2}\lambda_{3}$   Daraus folgt  $\lambda_{3}=\frac{2\cdot l }{3}$  und mit $f_3=\frac{c}{\lambda_3}=\frac{3 \cdot c}{2 \cdot l}=3\cdot f_1$ 

allgemein (n. Harmonische) :  Daraus folgt  $\lambda_{n}=\frac{2\cdot l }{n}$  und mit $f_n=\frac{c}{\lambda_n}=\frac{n \cdot c}{2 \cdot l}=n\cdot f_1$ 

Alle Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung.

Eigenschwingungen eines Wellenträgers mit einem festen und einem freien Ende

Für ein festes und ein freies Ende ergeben sich folgende Bedingungen:

Grundschwingung (1. Harmonische)     :  $l=\dfrac {1}{4}\lambda_{1}$    Daraus folgt  $\lambda_{1}=4\cdot l$  und mit $f_1=\frac{c}{\lambda_1}=\frac{c}{4 \cdot l}$ 

1. Oberschwingung (3. Harmonische): $l=\dfrac {3}{4}\lambda_{2}$   Daraus folgt  $\lambda_{2}=\frac{4\cdot l }{3}$  und mit $f_2=\frac{c}{\lambda_2}=\frac{3\cdot c}{4 \cdot l}=3\cdot f_1$

2. Oberschwingung (5. Harmonische ) : $l=\dfrac {5}{4}\lambda_{3}$   Daraus folgt  $\lambda_{3}=\frac{4\cdot l }{5}$  und mit $f_3=\frac{c}{\lambda_3}=\frac{5 \cdot c}{4 \cdot l}=5\cdot f_1$   

allgemein (n. Harmonische) :  Daraus folgt  $\lambda_{n}=\frac{4\cdot l }{2\cdot n+1}$  und mit $f_n=\frac{c}{\lambda_n}=\frac{(2\cdot n+1) \cdot c}{4 \cdot l}=(2\cdot n+1)\cdot f_1$ 

Alle Oberschwingungen sind ungeradzahlige Vielfache der Grundschwingung.

Zum Abschluss noch ein Video von Studyflix, das noch einmal alles zusammenfasst.