Teilchen in elektrischen Feldern

Um Elektronen im elektrischen Feld untersuchen zu können, muss man zunächst freie Elektronen erzeugen, also Elektronen, die nicht an einen Leiter gebunden sind.

Glühelektrischer Effekt Aus der erhitzten Oberfläche eines Metalls treten im Vakuum Elektronen aus.

Der sogenannte glühelektrische Effekt wurde im Jahre 1883 von Thomas Alva Edison entdeckt:

Durch die Erhitzung erhalten locker sitzende Elektronen an der Oberfläche genügend kinetische Energie, um das Metall zu verlassen.

Durch die Heizung (Heizspannung $U_H$) lösen sich die Elektronen aus der Metalloberfläche der Glühkathode und werden durch die angelegte Spannung zwischen Glühkathode und Anode zur Anode hin beschleunigt.

Die Elektronen sind unsichtbar, aber durch den Stromfluss nachweisbar.

Wird eine elektrische Spannung dafür verwendet, ein geladenes Teilchen zu beschleunigen, wird die Spannung als Beschleunigungsspannung U_B bezeichnet.
 

Durchläuft ein Elektron eine Beschleunigungsspannung U_B, wird die elektrische Energie  vollständig in kinetische Energie umgewandelt.

Mit dem Ansatz der Energieerhaltung lässt sich eine Formel für die Geschwindigkeit von Elektronen herleiten, die in einem elektrischen Feld beschleunigt wurden:

Es gilt:  $E_{kin}=E_{el}$

und damit  $\frac {1}{2}mv^{2}=U_{B}\cdot Q$

Stellt man diese Gleichung nach $v$  um, erhält man:  $v=\sqrt {\dfrac {2 U_{B}\cdot e}{m_{e}}}$

Darin ist $m_{e}$die Masse eines Elektrons. Ist diese bekannt, lässt sich so die Geschwindigkeit der im elektrischen Feld beschleunigten Elektronen berechnen.

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1. Aufbau der Elektronenkanone:  

2. Funktionsweise:

Informiere dich auf oben genannter Internetseite über die Bedeutung der einzelnen Bauteile einer Elektronenkanone, die Hauptbestandteil aller Elektronenstrahlröhren (bzw. Kathodenstrahlröhren) ist.

Analysiere die Funktionsweise der Elektronenkanone mithilfe der Beschreibung und der Simulation.

Fertige übersichtliche Aufzeichnungen zur Bedeutung der Bauteile und der Funktionsweise der Elektronenkanone an. Gehe dabei von folgendem Lückentext aus.

3. Mathematisch-physikalische Beschreibung der Beschleunigungsphase (klassisch, nichtrelativistisch):

Analysiere, in welchem Bereich der Röhre die durch den glühelektrischen Effekt aus der Kathode herausgelösten Elektronen beschleunigt werden.

Leite die Gleichung zur Berechnung der Endgeschwindigkeit der Elektronen her. (siehe Kapitel Beschleunigung)

Beachte dabei, dass das Formelzeichen E hier für die elektrische Feldstärke und das Formelzeichen W für die Energie bzw. für die Arbeit stehen. Vollziehe jeden Schritt der Herleitung genau nach.

Fertige eine eigene, kommentierte Herleitung so an, dass du sie auch später wieder nachvollziehen kannst. 

4. Mathematisch-physikalische Beschreibung der Flugphase ohne weiteren Einfluss eines äußeren Feldes: 

Beschreibe die weitere Flugbahn, die sich an die Beschleunigungsphase anschließt und begründe diese.

Um die Bewegung von Elektronen in einem senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung stehenden elektrischen Feld zu untersuchen, nutzt du eine sog. Elektronenablenkröhre. In der Elektronenablenkröhre erzeugt zunächst eine Elektronenkanone einen feinen Elektronenstrahl. Dieser tritt dann in das senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen stehende E-Feld eines Plattenkondensators ein. Dort werden die Elektronen dann abgelenkt. Mithilfe eines Leuchtschirms wird dabei die Bahn der Elektronen im E-Feld des Plattenkondensators für das Auge sichtbar gemacht.

Ist die untere Platte positiv geladen, wird der Elektronenstrahl nach unten abgelenkt. Die Bahn des Elektronenstrahls erinnert an die Wurfparabel bei einem horizontalen Wurf.

Analogie zum waagerechten Wurf:

Beim waagerechten Wurf kommt es zur Überlagerung von zwei Teilbewegungen:

In x-Richtung: gleichförmige Bewegung  (v_x bleibt konstant)

In y-Richtung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung  (v_y wird größer)

Die Bewegungsgleichungen lauten

für den Weg in x-Richtung:    $x=v_{x}t$

für den Weg in y-Richtung:    $y=\frac {1}{2}gt^{2}$

$t$  bzw. $t^2$lässt sich mit der oberen Gleichung ersetzen:  $t^{2}=\dfrac {x^{2}}{v_{x}^{2}}$

Damit ergibt sich die Bahngleichung für den horizontalen Wurf:  $y=\dfrac {1}{2}g\dfrac {x^{2}}{v_{x}^{2}}$

Erklärung der Elektronenbahn

Auch in diesem Versuch kommt es zu einer Überlagerung zweier Teilbewegungen:

1. Nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung bewegen sich die Elektronen gleichförmig in x-Richtung.
2. Aufgrund der konstanten Kraft im horizontalen elektrischen Feld erfolgt in y-Richtung eine gleichmäßige Beschleunigung.

Die Ablenkung in y-Richtung ist abhängig von der Spannung an den Kondensatorplatten.

Die Bahngleichung für die Ablenkung von Elektronen im elektrischen Querfeld lautet:  $y=\dfrac {U_{A}}{4dU_{B}}\cdot x^{2}$.

Leite diese Formel her!

Falls es dir nicht gelingt, orientiere dich auf hier

In einer Braun’schen Röhre werden die Elektronen in einem Kondensator abgelenkt und gelangen dann auf einen weiter entfernten Schirm.

In einer Animation kann man die gesamte Bewegung verfolgen: Animation

Wir wollen nun die Gesamtablenkung $y_{ges}$bis zum Schirm berechnen.

Nach den Verlassen  des Kondensators der Länge $l$ haben die Elektronen eine konstante resultierende Geschwindigkeit aus $v_{x}$

und $v_{y}$. Sie treffen auf einen Beobachtungsschirm im Abstand .

Die Gesamtablenkung $y_{ges}$ setzt sich zusammen aus der Ablenkung innerhalb des Kondensators  $y_1$

und der Ablenkung hinter dem Kondensator $y_2$.

Es gilt also: $y_{ges}=y_{1}+y_{2}$

Die Ablenkung $y_1$ innerhalb des Kondensators lässt sich mit Hilfe der bereits hergeleiteten Bahngleichung (s.o.) berechnen, indem man für $x$ die Kondensatorlänge $l$ einsetzt. 

Man erhält so:   $y_{1}=\dfrac {U_{A}}{4dU_{B}}\cdot l^{2}$

Berechnung der Ablenkung zwischen Kondensator und Schirm

Um die Ablenkung $y_2$ herzuleiten, gibt es verschiedene Wege.

Der einfachste und eleganteste Weg ist, zunächst die Steigung der Tangente an der Parabel am Punkt $x=l$(also am Ende des Kondensators) zu bestimmen. Da hinter dem Kondensator keine weitere Ablenkung erfolgt, bleibt diese Steigung (also die Richtung des Elektronenstrahls) bis zum Schirm konstant.

Die Steigung der Tangente erhält man mit der Ableitung  $y_{1}'(x)$ bzw.  $y_{1}'(l)=\dfrac {U_{A}\cdot l}{2d\cdot U_{B}}$.

Für die Ablenkung $y_2$ gilt dann:   $y_{2}=mx$, wobei $m$ die Steigung, also $y_{1}'(l)$   (s.o.), ist und für $x$ die Strecke $s$eingesetzt wird.

Damit erhält man: $y_{2}=\dfrac {U_{A}\cdot l\cdot s}{2d\cdot U_{B}}$  und    $y_{ges}=y_{1}+y_{2}=\dfrac {U_{A}\cdot l^{2}}{4d\cdot U_{B}}+\dfrac {U_{A}\cdot l\cdot s}{2d\cdot U_{B}}$

Durch Ausklammern erhält man  $y_{ges}=\dfrac {U_{A}\cdot l}{4d\cdot U_{B}}\cdot \left(l+2 \cdot s\right)$

Ergebnis:

Die Gesamtablenkung der Elektronen in einer Braunschen Röhre beträgt  $y_{ges}=\dfrac {U_{A}\cdot l(l+2s)}{4d\cdot U_{B}}$

mit  $l$= Länge des Kondensators,     und $s$  = Abstand zwischen Kondensator und Schirm

Den Ablenkwinkel kann man aus den Geschwindigkeitskomponenten bestimmen $tan~ \alpha = \frac{v_y}{v_x}$.

In der Mitte des 19. Jahrhunderts fand MICHAEL FARADAY (1791–1867) heraus, dass bei der Elektrolyse zur Abscheidung einer bestimmten Anzahl von Atomen gegebener Wertigkeit immer die gleiche Ladung erforderlich ist. Auf dieser Grundlage versuchte der britische Physiker G. J. STONEY (1826–1911) eine erste Abschätzung der Elementarladung, konnte aber nur einen statistischen Mittelwert angeben.

Mit einem völlig anderen Verfahren gelang es dem amerikanischen Physiker ROBERT ANDREWS MILLIKAN (1868–1953) in den Jahren 1909 bis 1913 erstmals, die Elementarladung e relativ genau zu bestimmen. Er nutzte dazu die Tröpfchenmethode, der Versuch wird heute als MILLIKAN-Versuch (oder auch Öltröpfchenversuch) bzw. MILLIKAN-EXPERIMENT bezeichnet. MILLIKAN erhielt für die Präzisionsmessung der Elementarladung 1923 den Nobelpreis für Physik.

Zuvor war gar nicht klar, ob es überhaupt so etwas wie eine kleinste Ladung gibt.

Mit dem im folgenden beschriebenen Experiment konnte Robert Millikan nachweisen, dass es eine kleinste Ladung – die sog. Elementarladung – gibt, und er konnte diese als erster relativ genau bestimmen.

Grundgedanke und Versuchsaufbau zum Millikan-Versuch
 

Wenn man Öl zerstäubt, erhält man winzige Tröpfchen, die durch den Vorgang des plötzlichen Teilens elektrisch geladen werden (positiv oder negativ).

Ein Öltröpfchen fällt unter dem Einfluss der Schwerkraft nach unten, wird aber durch die Reibung in der Luft abgebremst, so dass die Fallgeschwindigkeit klein bleibt – genauso, wie sehr feine Regentropfen nur sehr langsam nach unten fallen.

Die Reibungskraft ist von der Geschwindigkeit abhängig. Je größer die Fallgeschwindigkeit wird, umso größer ist die Reibungskraft. Ist die Reibungskraft so groß wie die Gewichtskraft, heben sich beide Kräfte auf, und das Tröpfchen wird nicht weiter beschleunigt, sondern bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Öltröpfchen beim Fallen in Luft (ohne elektrisches Feld):

Nach einer sehr kurzen Beschleunigungsphase führt das Öltröpfchen eine gleichförmige Bewegung aus (v₀ = konst.), da sich die Gewichtskraft F_G und die Reibungskraft F_R aufheben.

Es herrscht dann ein Kräftegleichgewicht:

|F_G| = |F_R|

(Die Reibungskraft in Luft hängt von der Geschwindigkeit ab – je größer v, desto größer F_R).

Die Reibungskraft F_R für einen kugelförmigen Körper in einem Medium der Zähigkeit (dynamische Viskosität) η (Eta) beträgt:

$F_ {R}=6\, \pi\, \eta\, r\, v$         (Dabei ist $r$ der Radius des kugelförmigen Körpers)

Die Reibungskraft steigt also proportional zur Geschwindigkeit.

Dieser Zusammenhang wird als Stokessches Gesetz bezeichnet.

Für Luft gilt:  $\eta=1,82\cdot 10^{-5}\frac {kg}{ms}$

Wie bei Regentropfen gilt:  Je schwerer der Tropfen ist (je größer die Gewichtskraft F_G), umso größer ist die Fallgeschwindigkeit v und damit auch die Reibungskraft F_R.