Schwingungen

Bisher hatten wir Spulen und Kondensatoren einzeln eingeschalten und die entsprechenden Vorgänge betrachtet. Im Folgenden werden wir die Vorgänge kombinieren. Dazu betrachtet folgendes Schaltbild: Spule und Kondensator sind parallel geschalten. Bei der realen Spule ist der Widerstand nicht vernachlässigbar und als separates Bauelement eingezeichnet.

Die Vorgänge, die sich jetzt abspielen, sind im folgenden Video dargestellt.

Ihr saht  eine zeitlich periodische Änderung der Spannung. Solche zeitlich periodischen Änderungen nennt man in der Physik Schwingungen, die ihr bereits aus der Einführungsphase kennt.

Zur Beschreibung einer Schwingung ist es sinnvoll, sich die Schwingung als Projektion einer Kreisbewegung vorzustellen.

Animation

Beim rotierenden Zeiger kann man ein rechtwinkeliges Dreieck einzeichnen: 

Für das rechtwinkelige Dreieck gilt: $sin(\phi) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{GK}}{\text{H}}$. Die Gegenkathete ist die Auslenkung $y$zur Zeit und kann als $y(t)$ geschrieben werden. Die Hypothenuse ist die Amplitude der Schwingung und kann als $\widehat y$ oder $y_{max}$ geschrieben werden. Den Winkel $\phi$ kann man mit der Winkelgeschwindigkeit ausdrücken:  $\phi =\omega \cdot t$. Damit folgt: 

\begin{align}     sin(\phi) &= \frac{\text{GK}}{\text{H}} = \frac{y(t)}{\widehat y} \\     sin(\omega \cdot t) &= \frac{y(t)}{\widehat y} \\     y(t) &= \widehat y \cdot sin(\omega \cdot t) \end{align}

Wenn eine Schwingung durch eine Sinusfunktion beschrieben werden kann ( dies nennt man harmonische Schwingung), dann gilt für die Auslenkung $y(t)$des Oszillators zum Zeitpunkt $t$:

$y(t) = \widehat y \cdot sin(\omega \cdot t)  = \widehat y \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right) = \widehat y \cdot sin(2 \pi \cdot f \cdot t)$

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ kann mit der Periodendauer $T$oder Frequenz $f$der Schwingung ersetzt werden.

Das Feder-Masse-Pendel (Feder-Schwere-Pendel)

Wiederholung Feder: Wenn die Federkonstante einer Feder bekannt ist, kann man ausrechnen, wie viel Kraft $F$ aufgebracht werden muss, um die Feder um die Strecke $s$ zu dehnen:  $F = D \cdot s$. 

Die Proportionalitätskonstante $D$  wird Federkonstante oder Federhärte genannt. 

Wenn eine Feder die Federkonstante $D$ hat, und um die Strecke $s$ gedehnt wird, dann speichert sie bei der Dehnung die potentielle Energie $E_\text{Spann} = \tfrac{1}{2} \cdot D \cdot s^2$ als Spannenergie. Sobald man die Feder loslässt, kann die gespeicherte Spannenergie genutzt werden, um die Feder zu beschleunigen, so dass sie in Richtung ihrer Ruhelage entspannt wird.

Wenn die Feder an einer Halterung befestigt und an die Feder eine Masse $m$ gehängt wird, bewirkt die Gravitationskraft, dass die Feder gedehnt wird. Sobald die Rückstellkraft der Feder und die Gravitationskraft im Gleichgewicht sind, befindet sich das Feder-Masse-Pendel in seiner Ruhelage.

Bewirkt man eine zusätzliche Kraft, um die Masse aus ihrer Ruhelage auszulenken, wird die Feder weiter gespannt und speichert potentielle Energie in Form von Spannenergie. Lässt man dann die Masse los, bewirkt die Rückstellkraft, dass die Masse beschleunigt wird. Die gespeicherte potentielle Energie wird in Bewegungsenergie umgewandelt. Dieser Prozess wiederholt sich periodisch, so dass das Feder-Masse-Pendel anfängt zu schwingen.

Das Verhalten eines Feder-Masse-Pendels können Sie in der folgenden Simulation studieren.

Simulation PHET

Führen Sie folgende Untersuchungen durch:

1. Klicken Sie auf "Intro". Lassen Sie die Federkonstanten unverändert und hängen Sie an das linke Pendel eine Masse von $m = 100 \, \text{g}$ und an das rechte Pendel eine Masse von .$m = 250 \, \text{g}$ Lenken Sie die Pendel aus und beobachten Sie die Schwingung, insbesondere die Schwingungsdauer $T$ der beiden Pendel. Stellen Sie eine Hypothese auf, wie die Periodendauer $T$ von der Masse $m$ abhängt.
2. Führen Sie zur Überprüfung der Hypothese folgendes Experiment durch: Klicken Sie auf "Experimente" und wählen Sie für das Pendel eine geringe Federkonstante und stellen Sie die Dämpfung auf "Keine". Ziehen Sie mit der Maus die Stoppuhr und das Lineal in die Simulation. Messen Sie für mind. 10 verschiedene Massen (beginnend mit 50 g) die Periodendauer $T$ des Feder-Masse-Pendels, indem Sie die Dauer für 10 vollständige Schwingungen messen und diese Zeit durch 10 teilen. Zeichnen Sie ein geeignetes Masse-Periodendauer-Diagramm.
3. Hängen Sie an beide Federn ein Massenstück mit $m = 100 \, \text{g}$ und  vergrößern Sie die Federkonstante der rechten Feder deutlich. Lenken Sie die Pendel aus und beobachten Sie die Schwingung, insbesondere die Schwingungsdauer der beiden Pendel. Stellen Sie eine Hypothese auf, wie die Periodendauer von der Federkonstante abhängt.
4. Führen Sie zur Überprüfung der Hypothese folgendes Experiment durch: Klicken Sie auf "Experimente" und wählen Sie für das Pendel eine bestimmte Masse und stellen Sie die Dämpfung auf "Keine". Ziehen Sie mit der Maus die Stoppuhr und das Lineal in die Simulation. Messen Sie für 10 verschiedene Federkonstanten (0,1 bis 1) die Periodendauer des Feder-Masse-Pendels, indem Sie die Dauer für 10 vollständige Schwingungen messen und diese Zeit durch 10 teilen. Zeichnen  Sie ein geeignetes Federkonstante-Periodendauer-Diagramm.

Urheberrechte: Viele Teile sind aus den Webseiten https://www.physik.gym-wst.de/ und https://physikunterricht-online.de entnommen.

Ergebnis der Versuche

Zu 1.: Das Pendel, an welchem das Massenstück mit der geringeren Masse hängt, hat eine kürzere Periodendauer $T$ , das heißt es pendelt pro Sekunde öfter hin und her. Je größer die Masse $m$ des Massenstücks an einem Feder-Masse-Pendel ist, desto größer ist die Periodendauer der Schwingung des Pendels. Hypothese: Die Periodendauer $T$ist proportional zu  $m$.

Zu 2.

Zu 3.: Das Pendel mit der größeren Federkonstante hat eine kürzere Periodendauer , das heißt es pendelt pro Sekunde öfter hin und her. Je größer die Federkonstante der Feder eines Feder-Masse-Pendel ist, desto kleiner ist die Periodendauer der Schwingung des Pendels. Hypothese: Die Periodendauer $T$ ist proportional zu $\frac{1}{D}$.

Zu 4.

Die Auswertung der Experimente zum Feder-Masse-Pendel liefert folgende Hypothesen:

• Die Periodendauer $T$ist proportional zu $\sqrt m$
• Die Periodendauer $T$ist  ist proportional zu $\frac{1}{\sqrt D}$

Beim Feder-Masse-Pendel wirken folgende Kräfte:

• die Gravitationskraft   $F_\text{G} = m \cdot g$  mit der  Masse  $m$ des Pendelkörpers und der Erdbeschleunigung $g$= $9,81 \frac{m}{s^2}$
• die rückstellende Federkraft $F_\text{R} = D \cdot y$ , mit $y$ als vertikaler Auslenkung aus der Ruhelage und $D$ als Federhärte (Federkonstante) der Feder.

Wenn sich die Pendelmasse unterhalb der Ruhelage befindet, wirkt die Rückstellkraft der Feder nach oben, die Gravitationskraft wirkt nach unten.

Modellierung des Schwingungsvorgangs:

• In der Ruhelage befindet sich das Feder-Masse-Pendel in einer Gleichgewichtslage, in der die Gravitationskraft $F_G$ und die Federkraft $F_R$ sich gerade ausgleichen. Das Pendel steht still.
• Zieht man die Feder nach unten, dehnt man die Feder und speichert Spannenergie in der Feder: $E_\text{Spann} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2$ (siehe Formelsammlung).
• Da die wirkende Rückstellkraft größer als die Gewichtskraft ist, wird die Feder mit $F = m \cdot a$ nach oben beschleunigt und die Spannenergie wird in Bewegungsenergie $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ umgewandelt.
• Mit zunehmender Höhe wird die Bewegung durch die Gewichtskraft und die Spannkraft der Feder gebremst und die Bewegungsenergie wird in potentielle Energie umgewandelt, die als Spannenergie und Lageenergie gespeichert ist. Aufgrund der Gewichtskraft und der Federkraft wird das Pendel dann wieder nach unten beschleunigt.
• Dieser Vorgang wiederholt sich solange, bis Reibung die Energie, welche durch die Auslenkung des Pendels aus der Ruhelage dem Feder-Masse-Pendel zugeführt wurde, in Wärmeenergie umgewandelt hat. Dann wird das Pendel wieder in seiner Ruhelage ruhen.

In der weiteren Betrachtung werden alle Reibungskräfte vernachlässigt.

In der Ruhelage ist die Gewichtskraft im Gleichgewicht mit der Rückstellkraft der Feder:

  \begin{align}     F_\text{G} &= F_\text{R} \\     m \cdot g &= D \cdot y_0 \\     y_0 &= \frac{m \cdot g}{D} \end{align}

In der Ruhelage  einer Feder, an welcher eine Masse hängt, wurde die Feder um den Weg $y_0 = \frac{m \cdot g}{D}$im Vergleich zur Ruhelage ohne Massenstück nach unten ausgelenkt.

Lenkt man das Feder-Masse-Pendel nach unten aus der Ruhelage aus, ist die resultierende Kraft die Differenz aus der Rückstellkraft und der Gravitationskraft, die einander entgegengesetzt gerichtet sind. Da die rückstellende Kraft von der Auslenkung abhängt, ändert sich diese bei der Bewegung des Massenstücks ständig. Die rückstellende Kraft und daher auch die resultierende Kraft werden daher als Funktionen in Abhängigkeit der Zeit geschrieben:  $F_\text{res}(t) = F_\text{R}(t) - F_\text{G}$

• Für die rückstellende Kraft gilt: $F_\text{R}(t) = D \cdot s = D \cdot (y_0-y(t))$
• Die Gravitationskraft ändert sich nicht und es gilt: $F_\text{G} = m \cdot g$

Zusammen folgt damit:

\begin{align} F_\text{res}(t) &= F_\text{R}(t) - F_\text{G}\\  &= D (y_0-y(t)) - m \, g\\  &= D \left(\cfrac{m \cdot g}{D} - y(t) \right) - m \, g\\  &= m \, g - D \, y(t) - m \, g\\  &= - D \, y(t) \end{align}

Für die resultierende Kraft, welche auf das Feder-Masse-Pendel wirkt, gilt also:   $F_\text{res}(t) = - D \, y(t)$

Diese resultierende Kraft bewirkt eine Beschleunigung $a$ des Massestücks. Da die beschleunigende Kraft sich ständig ändert, ändert sich auch die Beschleunigung des Massenstücks ständig. Für den Zusammenhang zwischen der beschleunigenden Kraft $F_B$ und der daraus resultierenden Beschleunigung gilt: $F_\text{B}(t) = m \cdot a(t)$ und damit:

\begin{align}     F_\text{B}(t) &= F_\text{res}(t) \\     m \cdot a(t) &= - D \cdot y(t) \end{align}

Die Geschwindigkeit  $v$ ist die Änderung des Weges , während die Zeit vergeht. Ist diese Änderung konstant gilt: $v = \frac{s}{t}$ . 

Beim Feder-Masse-Pendel ändert sich der Weg, den das Massenstück zurücklegt, aber nicht gleichbleibend. Man kann für die Bewegung des Feder-Masse-Pendel also zu einem bestimmten Zeitpunkt nur die Momentangeschwindigkeit angeben. Die Geschwindigkeit ist damit eine Funktion der Zeit und kann als Ableitung der Ortsfunktion angegeben werden. Mathematisch ist die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Weges :      $v(t)=\frac{ds}{dt}= \dot{s}$

Die Beschleunigung $a$  beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit . Ist die Änderung der Geschwindigkeit konstant, kann man schreiben:  $a = \frac{v}{t}$ . Bei nicht konstanter Beschleunigung ist die Beschleunigung eine Funktion der Zeit und kann als Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion angegeben werden. Mathematisch ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit. $a(t)=\frac{dv}{dt}=\dot{v}$

Setzt man diese Einsichten zusammen, folgt, dass die Beschleunigung die Änderung der Änderung des Weges zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Mathematisch kann man das wie folgt schreiben:  $a(t)=\frac{\frac{ds}{dt}}{dt}=\ddot{s}$

Anstelle der Beschleunigungsfunktion setzt man die zweite Ableitung der Ortsfunktion ein: 

\begin{align}     F_\text{B}(t) &= F_\text{res}(t) \\     m \cdot \ddot{y} &= - D \cdot y(t) \\ \color{red} {\ddot y}  +\frac{D}{m} \cdot \color{blue}y &=0\end{align}

Diese Gleichung enthält eine Weg-Zeit-Funktion und deren zweite Ableitung . Eine solche Gleichung nennt man eine  Differentialgleichung.  Dies ist uns ja bereits vom Ein- und Ausschalten beim Kondensator bekannt.

Jetzt soll versucht werden eine Funktion zu erraten, welche diese Gleichung löst. Eine Lösungsfunktion kann eine Funktion sein, deren zweite Ableitung bis auf einen Faktor gleich der ursprünglichen Funktion ist. Die Mathematik kennt eine Funktion, deren 2. Ableitung bis auf ein Vorzeichen mit der ursprünglichen übereinstimmt: 

\begin{align}     (sin(x))' &= cos(x) \\     (cos(x))' &= - sin(x) \\     (sin(x))'' &= - sin(x) \end{align}

Die Beschreibung der Auslenkung mit $\color{blue}{y(t) = \widehat y \cdot sin(\omega \cdot t)  = \widehat y \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right) = \widehat y \cdot sin(2 \pi \cdot f \cdot t)}$ ergibt als zweite Ableitung

$\color{red}{\ddot y(t) =-  \widehat y \cdot \omega ^2 \cdot sin(\omega \cdot t)  = - \widehat y \cdot (\frac{2 \pi}{T})^2 \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right) = -\widehat y \cdot ((2 \pi \cdot f)^2 \cdot sin(2 \pi \cdot f \cdot t)}$

Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich für die Variante mit der Periodendauer

\begin{align}     \color{red}{-\widehat y \cdot (\frac{2 \pi}{T})^2 \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right)}+ \frac{D}{m} \cdot  \color{blue}{\widehat y \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right)}&=0 \\  \color{brown}{\widehat y  \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right)}  \left( \color{magenta}{-(\frac{2 \pi}{T})^2+ \frac{D}{m} }\right)  &=0  \end{align}

Ausklammern wandelt den Term in ein Produkt. Das Produkt ergibt Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Der erste Faktor ist nur "manchmal" Null, also muss der zweite Faktor Null ergeben.

Daraus folgt für die Periodendauer:

\begin{align}    \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^2&= {\frac{D}{m}} \\   \frac{2 \pi}{T} &= \sqrt{\frac{D}{m}} \\  \frac{T}{2\pi} &= \sqrt{\frac{m}{D}} \\  T &= 2\pi\cdot \sqrt{\frac{m}{D}}    \end{align}

Hängt man ein Massestück an einem als masselos betrachteten Faden der Länge l auf, erhält man ein Fadenpendel. Die gesamte Masse des Pendelkörpers denkt man sich in einem Punkt konzentriert. Für die rücktreibende Kraft ist die Gewichtskraft verantwortlich.

Die Gewichtskraft $F_G$ kann in zwei Teilkräfte zerlegt werden: $F_1$ entlang des Fadens und $F_R$ senkrecht dazu. Die Kraft $F_1$ spannt den Faden. Sie hebt sich mit der Spannkraft  $F_S$des Fadens auf und spielt damit für die Bewegung des Fadenpendels keine Rolle. Die Teilkraft $F_R$ ist die Rückstellkraft der Schwingung.

Als Elongation wählen wir die von der Ruhelage abweichende Bogenlänge $y$.

Ist das Fadenpendel um den Winkel $\varphi$ aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, ergibt sich für die Rückstellkraft:

$\begin{aligned} F_R = {} & F_G\cdot\sin(\varphi) \\ F_R = {} & -m\cdot g\cdot\sin(\varphi) \\ \end{aligned}$

Messen wir den Winkel $\varphi$ im Bogenmaß gilt: $\varphi = \frac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}} = \frac{y}{l}$

Und wir erhalten für die Rückstellkraft: $F_R =  -m\cdot g\cdot\sin(\frac{y}{l})$

Setzen wir  die Rückstellkraft in das Newtonsche Aktionsgesetz ein, erhalten wir:

  $\begin{aligned} F = {} & F_r \\ m\cdot a = {} & -m\cdot g\cdot\sin(\frac{y}{l}) \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{m}\\ a = {} & -g\cdot\sin(\frac{y}{l}) \\ \end{aligned}$

Da die Elongation $y$ im Argument der Sinus-Funktion vorkommt, ist die Beschleunigung $a$ nicht proportional zu $y$. Damit ist die Bewegung eines Fadenpendels keine harmonische Schwingung!

Für kleine Winkel im Bogenmaß allerdings gilt:     $\sin(\varphi)\approx\varphi \qquad\Rightarrow\qquad\sin(\frac{y}{l})\approx\frac{y}{l}$

Damit erhält man: 

$\begin{aligned} a \approx {} & -g\cdot\frac{y}{l} \\ a \approx {} & -\frac{g}{l}\cdot y \\ \end{aligned}$

Also einen linearen Zusammenhang zwischen der Beschleunigung $a= \ddot{y}$  und der Elongation $y$.  Für kleine Amplituden verhält sich ein Fadenpendel annähernd wie der Federschwinger (ein harmonischer Oszillator).

Für kleine Auslenkungen ist die Bedingung für eine harmonische Schwingung also erfüllt.

Für harmonische Schwingungen haben wir bereits eine Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer hergeleitet:

Für harmonische Schwingungen gilt:        $\ddot{y}  =-\frac{D}{m} \cdot y$  mit der Lösung $T = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$  

Ersetzt man für Federkonstante D durch die Erdbeschleunigung g sowie die Masse m durch die Fadenlänge l, so erhält man:

 $T = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$

Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels hängt also von der Länge des Fadens sowie der Erdbeschleunigung g ab.

Die Erdbeschleunigung bestimmt die Gewichtskraft, die auf eine bestimmte Masse wirkt und damit die Rückstellkraft.

Man kann also aus der Schwingungsdauer eines Fadenpendels auf die Erdbeschleunigung schließen.

Einführungsanimation. Welche Vorgänge führen jetzt zu einer Schwingung?

Im nachfolgenden Schaltbild sind das elektrische Feld des Kondensators und das magnetische Feld der Spule durch Feldlinien angedeutet. Dabei ist die Dichte der Feldlinien ein Maß für die Stärke des jeweiligen Feldes. Zusätzlich sind die Ladungsvorzeichen der beiden Kondensatorplatten und Pfeile für die (technische) Stromrichtung zu sehen.

Links unten zeigt eine Digitaluhr die seit Beginn der Schwingung vergangene Zeit an; darunter ist die Schwingungsdauer angegeben. Rechts unten ist - abhängig von den beiden Radiobuttons im unteren Teil der Schaltfläche - entweder ein Diagramm zum zeitlichen Verlauf von Spannung U und Stromstärke I zu sehen oder ein Balkendiagramm, das die Energieumwandlungen darstellt.

Aufgabe: 

Animation (Link)

a) Übernimm die Schaltung in dein Heft.

b) Stelle die Zeitlupe auf 100. Setze zunächst R=0 und beobachte das Hin- und Herpendeln der Energie zwischen Kondensator und Spule anhand der Feldlinienbilder. Beobachte für jeden Zeitpunkt den dazugehörigen Spannungs- und Stromwert.

Trage den Verlauf von Spannung und Stromstärke als Diagramm in deinem Heft ein.

c) Variiere C und L und studiere den Einfluss auf die Schwingungsdauer.

Formuliere in dein Heft:

Bei einer Erhöhung der Kapazität, wird die Periodendauer ....

Bei einer Erhöhung der Induktivität, wird die Periodendauer ....

d) Wähle jetzt R verschieden von Null. Untersuche, welchen Einfluss dies auf den Verlauf von Strom- und Spannung hat. Schalte in den "Energie-Modus" und studiere das Balkendiagramm.

Formuliere in dein Heft:

Bei einer Erhöhung des Ohmschen Widerstandes ....

Welche Vorgänge spielen sich denn im Schwingkreis ab?

Link zu Geogebra

Nach der KIRCHHOFF'schen Maschenregel gilt nun zu jedem Zeitpunkt t des Schwingvorgangs die Gleichung    ${U_L}(t) = {U_C}(t)$

Wenn wir die bekannten Zusammenhänge

• ${U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}$ (Kondensatorformel; Q(t): Ladung auf der oberen Platte des Kondensators während des Schwingvorgangs)
• ${U_L}(t) = - L \cdot \dot I(t)$ (Spulenformel; I(t): Stärke des Stroms durch die Spule während des Schwingvorgangs)
• $I(t) = \dot Q(t)$ (Definition der elektrischen Stromstärke) und damit $\dot I(t) = \ddot Q(t)$

nutzen und in diese Gleichung einsetzen, so erhalten wir

$\frac{Q(t)}{C} + L \cdot \ddot Q(t) = 0$

Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch LL und vertauscht die Reihenfolge auf der linken Seite der Gleichung, so erhält man

$\ddot Q(t) + \frac{1}{L \cdot C}\cdot Q(t) = 0 \quad(*)$

Dies ist zusammen mit den Anfangsbedingungen $Q_0 = Q(0\,{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|$ und$I(0\,{\rm{s}})=\dot Q(0\,{\rm{s}})=0$ die 

homogene Differentialgleichung 2.Ordnung für die Ladung Q(t) auf der oberen Platte des Kondensators während des Schwingvorgangs.

Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Funktion $Q(t) = \hat Q \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)$ mit $\hat Q = C \cdot \left| {{U_0}} \right|$und ${\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}}$. 

Aufgabe: Leiten Sie die Funktion $Q(t)$zweimal ab und setzen Sie die Funktion und die zweite Ableitung in die Differentialgleichung ein. Leiten Sie die Beziehung für $\omega_0$her.

Bei geeignet gewählter Messrichtung und den Anfangsbedingungen $Q_0 = C \cdot \left| {{U_0}} \right|$ und $I(0)=0$ wird die Spannung über dem Kondensator eines elektromagnetischen Schwingkreises mit der Kapazität C und der Induktivität L beschrieben durch die Funktion

$U_C(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad {\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}}$

Der Schwingkreis schwingt somit harmonisch.

Für die Schwingungsdauer T ergibt sich dann wegen $T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}$

$T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{1}}{L \cdot C}} }} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} \quad \rm{THOMSONsche}\, \quad{Schwingungsgleichung}$

Die Stärke des Stroms im Schwingkreis wird bei gleicher Messrichtung beschrieben durch die Funktion

$I(t) = -\sqrt {\frac{C}{L}} \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad {\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}}$

Schauen wir uns zuerst eine gedämpfte Schwingung bei einem Fadenpendel an, um sie mathematisch zu beschreiben

Link

Verändere den Dämpfungsfaktor und betrachte dabei auch einmal die Periodendauer. Es fällt hoffentlich auf, dass 

Um eine gedämpfte Schwingung zu modellieren, gehen wir davon aus, dass die Amplitude einer Schwingung in jedem gleichen Zeitintervall (z.B. 1 Sekunde oder besser eine Periodendauer) um den gleichen Anteil abnimmt. Mathematisch handelt es sich dann um eine exponentielle Abnahme der Amplitude, da in gleichen Zeitintervallen der Bestand um den gleichen prozentualen Anteil abnimmt.

Beispiel: Wenn in jedem Zeitschritt die Amplitude $A$ um 10% abnimmt, dann wäre eine geeignete Modellierung der Veränderung der Amplitude: $A(t) = A_0 \cdot 0,9^t = A_0 \cdot e^{ln(0,9) \cdot t}$

Jede Basis einer Exponentialfunktion lässt sich in eine Exponentialfunktion zur Basis e umrechnen -> kleine mathematische Übung für euch. Insbesondere ist dann auch ein Nachweis, dass es sich bei Messwerten der Amplitude um eine e-Funktion handelt, dadurch möglich, dass man bei Amplituden auf Quotientengleichheit prüft.

Insgesamt kann eine gedämpfte Schwingung deren Amplitude um p% in jedem Zeitschritt abnimmt, wie folgt mathematisch beschrieben werden:

$y(t) = A(t) \cdot sin(\omega \cdot t) = A_0 \cdot (1-\tfrac{p}{100})^t \cdot sin(\omega \cdot t) = A_0 \cdot e^{ln \left( 1-\tfrac{p}{100} \right) \cdot t} \cdot sin(\omega \cdot t)$

Zur Vereinfachung fasst man den Ausdruck  $ln \left( 1-\tfrac{p}{100} \right)$zu einer Konstanten, der Dämpfungskonstanten $\delta$ zusammen. Da der Logarithmus einer Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt negativ ist, die Dämpfungskonstante aber als positive Zahl notiert wird, gilt: $\delta = - ln \left( 1-\tfrac{p}{100} \right)$

Für eine gedämpfte Schwingung gilt damit:  $y(t) = A_0 \cdot e^{- \delta \cdot t} \cdot sin(\omega \cdot t)$

Im folgenden Video wird die Spannung über dem Kondensator in einem Schwingkreis mit einem Ohmschen Widerstand gemessen. Der Widerstand ist veränderlich und wird im Experiment zweimal vergrößert.  Grundsätzlich ist der Ohmsche Widerstand in jedem Schwingkreis enthalten, da die Spule aus einem aufgewickeltem Draht besteht.

In einem gedämpften elektrischen Schwingkreis geht Energie aufgrund des Widerstands verloren. Alle realen elektrischen Schwingkreise sind gedämpfte Schwingkreise, da alle Bauteile einen Widerstand haben.

	Für den elektrischen Schwingkreis gilt wieder der Maschensatz: $U_L  = U_C + U_R$ Dabei ist $U_C = \frac{Q(t)}{C}$, $U_R = R \cdot I(t)$und $U_L = -L \cdot \frac{d I(t)}{d t}$.  Für den Widerstand wird vereinfachend angenommen, dass er sich nicht mit der Stromstärke ändert. Es gilt also: $U_C + U_L + U_R = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot I(t) + L \cdot \frac{d I(t)}{d t} = 0$

Auch diese Gleichung soll so umgeformt werden, dass nur Funktionen einer physikalischen Größe enthalten sind, z.B.  $Q$:   $\frac{d Q(t)}{dt} = I(t)$und $\frac{d^2 Q(t)}{dt} = \frac{d I(t)}{dt}$. 

Damit kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

$U_C + U_L + U_R = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot I(t) + L \cdot \frac{d I(t)}{d t} = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot \frac{d Q(t)}{dt} + L \cdot \frac{d^2 Q(t)}{dt} = 0$

In anderer Schreibweise:

$\frac{1}{C} \cdot Q + R \cdot \dot Q + L \cdot \ddot Q = 0$

Die Lösung lässt sich weder einfach erraten, noch mit den Möglichkeiten der Schulmathematik ermitteln. Deswegen wird sie angegeben:

$Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t)$

Aus dieser Gleichung folgt für die Frequenz die angegeben Gleichung. Die Herleitung findet ihr hier, müsst sie aber nicht selber beherrschen

Hier nur die Ergebnisse:  $\delta =\frac{R}{2\cdot L}$ und $\omega = \sqrt{\omega_0^2-\delta^2}$   mit $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Eingesetzt folgt  $\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4\cdot L^2}}$

https://em-schwingkreis.ki-macht-lernen.de