Selbstinduktion

Schaue dir folgendes Video an.  Fertige danach im Heft eine Schaltskizze an und beschreibe den Vorgang. Versuche das Ergebnis zu deuten.

Erläuterung: Der Schiebewiderstand vor  L₁  ist  so eingestellt, dass bei  geschlossenem Schalter S die Lampen  L₁  und  L₂  gleich hell leuchten. In diesem Fall sind die ohmschen Widerstände des  Schiebewiderstands $R_{\Omega}$ und der Spule  $R_S$ gleich groß. 

Betrachtung der Stromstärke in einer Animation. Untersuche, von welche physikalischen Größen wie den Verlauf der Stromstärke beieinflussen.

Animation

Beobachtung beim Schließen des Schalters:  Die Lampe  L  leuchtet verzögert auf.  

Beobachtung beim Öffnen des Schalters:  Beide Lampen erlöschen mit der gleichen zeitlichen Verzögerung. 

Erklärung des Einschaltvorgangs:  

Beim Einschalten vergrößert sich der magnetische Fluss  innerhalb der Spule. Es gilt:   $\dot{\Phi}>0$   

Somit wird in der Spule eine zur Spannung  $U_0$ entgegen gerichtete Spannung  $U_ {ind}= - N_i\dot{\Phi}$

 induziert. Dies führt im Unterschied zum R-Zweig zu einer Verzögerung  des Stromanstieges im Spulenzweig.  

Erklärung des Ausschaltvorgangs:  

Beim Ausschalten verringert sich der magnetische Fluss innerhalb der Spule. Es gilt:  $\dot{\Phi}<0$

Somit wird in der Spule eine zur vorher angelegten Spannung $U_0$   gleich gerichtete Spannung  $U_ {ind}=-N_i\dot{\Phi}>0$ induziert.  

Diese Spannung erzeugt im Spulenzweig einen Induktionsstrom,  der die gleiche Richtung hat , wie der ursprüngliche Strom  

(Schalter geschlossen).  

Da Spulen- und R-Zweig einen geschlossenen Stromkreis  bilden, fließt der Induktionsstrom durch den R-Zweig, jedoch in  

entgegengesetzter Richtung zum ursprünglichen Strom. Die  Stromabnahme ist somit in beiden Zweigen gleich. 

Zusammenfassung

• Ändert sich der durch eine Spule fließende Strom (z.B. beim Ein- und Ausschalten), so bewirkt dieser eine Änderung des magnetischen Flusses durch die "eigene" Spule.
• Aufgrund des Induktionsgesetzes tritt eine Induktionsspannung auf, die nach LENZ die Ursache ihrer Entstehung zu hemmen sucht.
• Dadurch steigt der Strom beim Einschalten einer Spule erst allmählich auf seinen stationären Endwert. Beim Ausschalten der Spule kann der Strom noch "nachfließen", wenn ein entsprechender Stromkreis zur Verfügung steht.

\begin{eqnarray}{U_{\rm{i}}} &=&  - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\\ &=&  - N \cdot A \cdot \frac{{dB}}{{dt}}\\ &=&  - N \cdot A \cdot \frac{{d\left( {{\mu _0} \cdot \frac{N}{l} \cdot I} \right)}}{{dt}}\\ &=&  - N \cdot A \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l} \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\\ &=&  - {\mu _0} \cdot \frac{{A \cdot {N^2}}}{l} \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\end{eqnarray}

Im Ergebnis ist die induzierte Spannung neben den Größen, die in der Spule konstant gegeben sind, nur von der Stromstärkeänderung abhängig $U_{\rm{i}} \sim  - \frac{dI}{dt}$

Den Proportionalitätsfaktor L bezeichnet man als Induktivität der Spule (lat.: inductio, Einführung). Die Induktivität hat für verschiedene Spulen unterschiedliche Werte und ist von der Geometrie der Spule und der Permeabilität des Materials in der Spule abhängig.

Definition Induktivität L:   $L= \mu _0 \cdot \frac{A \cdot N^2}{l}$

Einheit $\left[ L  \right] = \frac{\left[ \left|U_{\rm{i}}\right| \right]}{\left[ \frac{dI}{dt} \right]} = \frac{1\,\rm{V}}{1\,\frac{\rm{A}}{\rm{s}}} = 1\,\frac{\rm{V}\,\rm{s}}{\rm{A}} =:1\,\rm{H}\;\rm{(Henry)}$

Eine nähere Betrachtung des Ein- und Ausschaltvorganges bei einer Spule kann mit Hilfe von Oszilloskopbildern durchgeführt werden.

Konsequenzen aus der Selbstinduktivität

Einschaltvorgang

• Der Strom geht nicht sofort auf seinen stationären Endwert ${I_0} = \frac{U_0}{R}$ sondern steigt allmählich auf diesen Endwert an.
• Mit dem Stromanstieg ist eine Zunahme des magnetischen Flusses in der Spule verbunden: $\frac{{d\Phi }}{{dt}} > 0$.
• Die Flussänderung ruft eine induzierte Spannung $U_i$ hervor, die (nach der Regel von LENZ) der von außen angelegten Spannung $U_o$ entgegengerichtet ist. Die an der idealen Spule $L$ anliegende Spannung  $U_L$ ist gegengleich zu dieser Induktionsspannung.

Ausschaltvorgang

• Der Strom geht nicht sofort auf Null zurück, sondern sinkt allmählich auf Null ab.
• Mit dem Stromabfall ist eine Abnahme des magnetischen Flusses in der Spule verbunden: $\frac{{d\Phi }}{{dt}} < 0$
• Die Flussänderung ruft eine induzierte Spannung $U_i$ hervor, die aufgrund des Induktionsgesetzes in differentieller Form positiv ist.

Wir wollen den Ein- und Ausschaltvorgang mit Gleichungen beschreiben. Die Herleitungen der Gleichungen sind relativ schwierig und nehmen Bezug auf mathematische Inhalte, die auch  im Mathematik-Leistungskurs nicht gelehrt werden.  Aber nicht abschrecken lassen, nicht alles müsst ihr selbst können😀.

Theorie zum Einschalten von RL-Kreisen

Eine Spule mit der Induktivität L und ein Widerstand der Größe R sind in Reihe geschaltet; eine solche Reihenschaltung von Spule und Widerstand bezeichnet man kurz als einen RL-Kreis. Über einen Schalter S kann an diesen RL-Kreis eine elektrische Quelle mit der Nennspannung $U_0$ verbunden werden.

Wird die elektrische Quelle angeschlossen, so kann ein Strom fließen, wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird. Das Anschließen der elektrischen Quelle und das sich daraus ergebende Verhalten des RL-Kreises bezeichnet man als Einschaltvorgang des RL-Kreises.

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/elektromagnetische-induktion/downloads/ein-und-ausschalten-von-rl-kreisen-graphen-simulation

Mit der Maschenregel ( in einer Masche ist die Summe der erzeugenden (positiven) Spannungen gleich der Summe der abfallenden (negativen) Spannungen) ergibt sich:

$U_0+U_L(t)=U_R(t)$

Mit dem OHM'schen  Gesetz ${U_R}(t) = R \cdot I(t)$  und dem Gesetz für die Induktionsspannung  ${U_L}(t) =  {U_{ind}}(t)=- L \cdot \dot I(t)$ ergibt sich: 

${U_0} -  L \cdot \dot I(t) =  R \cdot I(t)$

Dies ist - zusammen mit der Anfangsbedingung $I(0s)=0$  - die inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung für die Stromstärke $I(t)$ im Stromkreis während des Einschaltvorgangs.

Dies bedeutet, dass in einer Gleichung sowohl die Funktion (hier $I(t)$) auch die Ableitung (hier $\dot I(t))$steht. Ziel ist es, eine Funktion $I(t)$ zu finden, die dieser Gleichung genügt. Man spricht vom Lösen der Differentialgleichung. Die Größe  $\tau =\frac{L}{R}$heißt Zeitkonstante

Das Lösen solcher Differentialgleichungen ist ein eigenes mathematisches Gebiet.

Im Unterricht haben wir durch Probieren einer Gleichung der Form $I(t) = I_0  \cdot ( 1 - e^{ - k \cdot t})$  herausgefunden, dass wenn $k=\frac{R}{L}$ist, die Differentialgleichung erfüllt, d.h. wahr ist.

Die Lösung der Differentialgleichung ist also   $I(t) = I_0 \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}} \right)=\frac{{{{U_0}} }}{R} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}} \right)$

Somit beschreibt die Funktion I(t)I(t) den zeitlichen Verlauf der Stromstärke im Stromkreis während des Einschaltvorgangs.

Aufgabe 1: Zeige, dass die Funktion $I(t)$ die Differentialgleichung erfüllt. Leite dazu die Funktion $I(t)$ ab, setze $I(t)$ und $\dot I(t)$ in die Differentialgleichung ein und fasse schließlich so weit zusammen, dass eine wahre Aussage entsteht.

Aufgabe 2: Zeige, dass nach der Zeit $t=\tau$ die Stromstärke in der Schaltung ca. 63% der endgültigen Stromstärke beträgt.

Aufgabe 3: Berechne die Zeit $t_H$, nach der die Stromstärke auf die Hälfte der endgültigen Stromstärke angestiegen ist

Theorie zum Ausschalten

Der Maschensatz ergibt in diesem Fall : $U_L(t)=U_R(t)$

Wieder mit dem OHM'schen  Gesetz ${U_R}(t) = R \cdot I(t)$  und dem Gesetz für die Induktionsspannung  ${U_L}(t) =  {U_{ind}}(t)=- L \cdot \dot I(t)$ ergibt sich die Differentialgleichung: 

$-  L \cdot \dot I(t) =  R \cdot I(t)$

In diesem Fall wollen wir uns als Lösungsmethode die Integration anschauen. Sie ist anwendbar, wenn nur die Funktion und ihre erste Ableitung in der Differentialgleichung stehen.

Zuerst schreiben wir die Gleichung als Differential   $-  L \cdot \frac  {dI}{dt} =  R \cdot I(t)$  und trennen dann die Variablen $\frac  {1}{I} dI = - \frac{R}{L} dt$ . 

Dazu muss man wissen, dass man mit dem Differential nahezu wie mit Variablen rechnen kann. 

Jetzt integrieren wir beide Seiten und erhalten  $\int \frac  {1}{I} dI = \int - \frac{R}{L} dt$. 

Die passenden Stammfunktionen für die rechte und linke Seite ergeben sich unter Berücksichtigung der Konstanten zur Bestimmung aller Stammfunktionen:

$\ln (I) +c_1 = - \frac{R}{L} \cdot t + c_2$, die wir mit $c= c_2 - c_1$ zusammenfassen:   $\ln (I)  = - \frac{R}{L} \cdot t + c$. 

Gesucht ist aber die Funktion $I(t)$, mit der entsprechenden Gegenoperation zum Logarithmus  ergibt sich $I(t)  = e^{- \frac{R}{L} \cdot t + c}$.

Zur Bestimmung der Konstanten $c$ untersucht man die Randbedingungen für $t \rightarrow \infty$  und $t=0$.

Beim Betrachten des Grenzwertes für $t \rightarrow \infty$ erhält man $\lim \limits_{t \to \infty} I(t) =0$, was in diesem Fall nicht weiter hilft.

Beim Einsetzen von $t=0$ erhält man $I(0)  = e^{- \frac{R}{L} \cdot 0 + c} =e^c$ . Damit ist die Bedeutung der Konstanten klar und es ergibt sich als Lösung der Differentialgleichung 

$I(t)  = I(0) \cdot e^{- \frac{R}{L} \cdot t}= I_0 \cdot e^{- \frac{R}{L} \cdot t}$ 

Aufgabe 4: Weise nach , dass die Funktion $I(t)$ die Differentialgleichung $-  L \cdot \dot I(t) =  R \cdot I(t)$ erfüllt. Leite dazu die Funktion $I(t)$ ab, setze $I(t)$ und $\dot I(t)$ in die Differentialgleichung ein und fasse schließlich so weit zusammen, dass eine wahre Aussage entsteht.