Die Kapazität eines Kondensators

Die Kombination von Kondensatoren testen wir an einer Simulation

Simulation von Phet

Aufgabe:

Aktivieren Sie den Tab "mehrere Kondensatoren". Aktivieren Sie die Diagramme für "Gesamtkapazität", "gespeicherte Ladung", "gespeicherte Energie".

Stellen Sie die Spannung an der Spannungsquelle auf -1,5 V ein. Notieren Sie die Kapazität bei einem Kondensator.

Aktivieren Sie "zwei Kondensatoren in Reihe" und vergleichen Sie die Kapazität mit nur 1 Kondensator im Stromkreis. Wiederholen Sie das für "drei Kondensatoren in Reihe".

Aktivieren Sie "zwei Kondensatoren parallel" und vergleichen Sie die Kapazität mit nur 1 Kondensator im Stromkreis. Wiederholen Sie das für "drei Kondensatoren parallel"

Parallelschaltung

Zwei Kondensatoren gleicher Fläche A und gleichen Plattenabstandes d werden parallelgeschaltet. Sie haben also die gleiche Kapazität (C₁=C₂). Schiebt man die beiden zusammen bis sich die Platten berühren, so hat man einen Kondensator daraus gemacht .Dieser hat immer noch denselben Plattenabstand d, jedoch nun die doppelte Plattenfläche,- seine Kapazität ist also doppelt so groß.

Diese Überlegung bleibt auch richtig, wenn der Kondensator C₁ eine kleinere Fläche hätte. Da beide Kondensatoren an derselben Quelle angeschlossen sind, ist die Spannung an den Anschlüssen beider Kondensatoren gleich. (U₁=U₂).

Für die Parallelschaltung von 2 Kondensatoren in einem Stromkreis gilt für die Gesamtkapazität der zwei Kondensatoren: $C_{ges} = C_1 + C_2$

Reihenschaltung

Die mittleren Kondensatorplatten (grün) sind nicht mit der Quelle verbunden. Ihre Gesamtladung (Vorzeichen!) ist also stets 0!

Sind Ladungen auf den äußeren Kondensatorplatten, tritt allerdings Influenz auf :

• Die Elektronen werden zu der linken Platte von C₂ hin verschoben.
• Die rechte Platte von C₁ erscheint dadurch positiv geladen.

Unabhängig von der Spannung $U_{ges}$ der Quelle gilt: Alle Kondensatorplatten aller Kondensatoren tragen stets (betragsmäßig) dieselbe Ladungsmenge Q

Die Teilspannungen U₁ und U₂ addieren sich zur Gesamtspannung $U_{ges}$

Da alle Kondensatorplatten gleiche Ladung tragen und Q=C*U gilt, folgt: an einem Kondensator mit einer großen Kapazität C1 tritt eine kleine Spannung U1 auf

Herleitung: Reihenschaltung von Spannungen   $U_{ges}=U_1+U_2=\frac{Q_1}{C1}+\frac{Q_2}{C_2}=\frac{Q_{ges}}{C_{ges}}$

Da die Kapazität immer gleich ist $Q_1=Q_2=Q_{ges}$ kann sie herausgekürzt werden.

Für die Reihenschaltung von 2 Kondensatoren in einem Stromkreis gilt für die Gesamtkapazität der zwei Kondensatoren: $\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

Diese mathematische Struktur können Sie auf eine beliebige Anzahl von Kondensatoren übertragen.

Animation zum Gedankenexperiment

Ein Kondensator ist ein Ladungs- und Energiespeicher. Beim Laden und Entladen eines Kondensators wird Ladung transportiert, wodurch die Spannung am Kondensator steigt bzw. sinkt. Die Kapazität eines Kondensators gibt dabei an, welche Ladungsmenge bei einer bestimmten Spannung aufnehmen kann.

Für die Arbeit W beim Laden gilt für ein Ladungselement $\Delta Q$: $W_{i}=\Delta Q\cdot U_{i}$

Grafisch dargestellt: 

^{Im U-Q-Diagramm entspricht die Fläche unter der Kurve der beim Aufladen verrichteten Arbeit und damit der im Feld gespeicherten Energie.}

Die Gesamtarbeit W ergibt sich aus der Summe der Teilarbeiten.

Da die Spannung beim Laden bzw. Entladen nicht konstant ist, sondern die Spannung proportional zur Ladungsmenge steigt, gilt hier nicht  $W=Q\cdot U$

 – für jedes Ladungselement muss mit Steigung der Spannung immer mehr Arbeit verrichtet werden.

Für den dargestellten Fall ergibt sich: Die Fläche unter der Kurve entspricht der verrichteten Arbeit und damit der Hälfte gegenüber dem Fall, dass die Spannung konstant wäre. Es gilt demnach:     $W=\frac {1}{2}Q\cdot U$ mit   $C=\dfrac {Q}{U}$ $\Leftrightarrow$ $Q=C \cdot U$ ergibt sich für die gesamte verrichtete Arbeit $W=\frac {1}{2}C\cdot U^2$

Da die verrichtete Arbeit gleich der Energieänderung ist, gilt für die im Plattenkondensator gespeicherte Feldenergie: $E_{el}=\frac {1}{2}QU$

 bzw.  $E_{el}=\frac {1}{2}CU^2$