Radialfelder – Coulombsches Gesetz

Homogene Felder zeichnen sich dadurch aus, dass die Feldstärke überall gleich groß ist. Es gibt jedoch auch Feldformen, in denen dies nicht der Fall ist. Ein solches Feld kennen wir schon, nämlich das Feld um eine punktförmige Ladung bzw. um eine geladene Kugel herum:

Ein solches Feld bezeichnet man als Radialfeld.

Letztendlich kann man sich alle anderen Feldlinienbilder aus Radialfeldern zusammengesetzt vorstellen.

Die Feldstärke im Radialfeld lässt sich aus der Dichte der Feldlinien ableiten.

Offensichtlich gilt im Radialfeld:     Die Feldstärke nimmt im Radialfeld mit zunehmendem Abstand ab.

Folgende Fragen sollen nun geklärt werden:
 

• Wie hängt die elektrische Feldstärke vom Abstand zur Ladung bzw. vom Abstand zum Kugelmittelpunkt einer geladenen Kugel ab?
• Hängt die elektrische Feldstärke an einem bestimmten Ort von der Kugeloberfläche bzw. vom Kugelradius ab? (Anders gefragt: Macht es einen Unterschied, wie groß die Kugel bei gleicher Ladung q ist?)

Mit Hilfe dieser Simulation kannst du dir selbstständig das COULOMB-Gesetz erarbeiten.

Abb. 2 Charles Augustin de COULOMB (1736 - 1806)

Die Simulation "COULOMB-Gesetz" veranschaulicht die COULOMB-Kraft zwischen zwei geladenen Körpern in Abhängigkeit von den relevanten Größen. Sie ermöglicht dir die selbstständige Erarbeitung des COULOMB-Gesetztes, das Charles Augustin de COULOMB (1736 - 1806) um das Jahr 1785 entdeckt hat und seither in umfangreichen Experimenten bestätigt werden konnte.

In der Simulation siehst du zwei geladene Körper, deren Ladungen q₁ und q₂ du in gewissen Grenzen verändern kannst. Ebenfalls kannst du den Abstand der Mittelpunkte der beiden Körper - wir bezeichnen ihn mit rr - verändern, indem du die Körper horizontal bewegst. Das Lineal ist ebenfalls beweglich, mit ihm kannst du diesen Abstand messen.

Die beiden kleinen Figuren und die Kraftpfeile deuten an, wie die COULOMB-Kraft zwischen den beiden Körpern gerichtet und wie groß sie ist. Den Betrag F_C der COULOMB-Kraft kannst du dir mit der Checkbox "Werte der Kräfte" anzeigen lassen, durch Wählen der Checkbox "wissenschaftlich" auch in wissenschaftlicher Schreibweise.

Im weiteren Verlauf dieses Artikels wollen wir mit dem COULOMB-Gesetz auf Laborgröße arbeiten.

Rufe die Simulation in einem anderen Fenster auf-

https://phet.colorado.edu/sims/html/coulombs-law/latest/coulombs-law_de.html

Aufgabe 1:

Verändere in der Simulation die Ladungen q₁ und q₂ der beiden Körper sowie den Abstand r der Mittelpunkte der beiden Körper und beobachte den Betrag F_C der COULOMB-Kraft.

Formuliere deine Beobachtungen in Form von "Wenn ..., dann ..." oder "Je größer ..., desto ..." - Sätzen.

Aufgabe 2: 

a) Abhängigkeit des Betrags F_C der COULOMB-Kraft von der Ladung q₁

Halte den Abstand der Mittelpunkte der beiden Ladungen auf dem Wert 5,0 cm und die Ladung q₂ auf dem Wert 5 μC fest.

Verändere die Ladung q₁ und beobachte den Betrag F_C der COULOMB-Kraft.

Halte die verschiedenen Werte von q₁ und F_C  in einer Tabelle fest.

Trage anschließend die Wertepaare in einem q₁-F_C-Diagramm auf  (q₁ auf die x_Achse (Ordinate)).

Gib an, auf welchem Graphen sich die Wertepaare befinden, welcher Funktionstyp zu diesem Graphen gehört und wie der zugehörige Funktionsterm allgemein aussieht.

Werte dieses q₁-FC-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen q₁ und F_C beschreibt. 

b) Abhängigkeit des Betrags F_C der COULOMB-Kraft von der Ladung q₂  - (kann entfallen, da symmetrisch zu a)

Halte den Abstand r der Mittelpunkte der beiden Ladungen auf dem Wert 5,0 cm und die Ladung q₁ auf dem Wert 5 μC fest.

Verändere die Ladung q₂ und beobachte den Betrag F_C der COULOMB-Kraft.

Halte die verschiedenen Werte von q₂ und F_C in einer Tabelle fest.

Trage anschließend die Wertepaare in einem q₂-F_C-Diagramm auf.

Gib an, auf welchem Graphen sich die Wertepaare befinden, welcher Funktionstyp zu diesem Graphen gehört und wie der zugehörige Funktionsterm allgemein aussieht.

Werte dieses q₂-F_C-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen q₂ und F_C beschreibt.

c) Abhängigkeit des Betrags F_C der COULOMB-Kraft vom Abstand r

Halte die Ladungen q1 und q₂ jeweils auf dem Wert 5μC fest.

Verändere den Abstand r  und beobachte den Betrag F_C  der COULOMB-Kraft.

Halte die verschiedenen Werte von r  und F_C  in einer Tabelle fest.

Trage anschließend die Wertepaare in einem r-F_C-Diagramm auf.

Stelle anhand dieses Diagramms eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen dem Abstand r und dem Betrag F_C der COULOMB-Kraft auf. Gib möglichst auch einen passenden Funktionsterm an.

Linearisierung des r-F_C-Diagramms

Man kann zeigen (vgl. die weiter unten stehende Aufgabe für Experten), dass der Betrag F_C der COULOMB-Kraft umgekehrt quadratisch (d.h. wie $y(x) \sim  \dfrac{1}{x^2}$) vom Abstand r abhängt. Von dieser Tatsache kannst du im weiteren Verlauf der Auswertung ausgehen, um das r-F_C-Diagramm zu linearisieren.

Ergänze dazu die zweite Zeile der folgenden Wertetabelle.

Trage anschließend die Wertepaare der zweiten und dritten Zeile der Tabelle in einem 1/r²-F_C-Diagramm auf.

Werte dieses 1/r²-F_C-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen r und F_C beschreibt.

d) Abhängigkeit des Betrags F_C der COULOMB-Kraft und den Ladungen q₁ und q₂ und dem Abstand r

Stelle mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse einen Term auf, der die Abhängigkeit des Betrags F_C der COULOMB-Kraft von den Ladungen q₁ und q₂ sowie dem Abstand r beschreibt (Tipp: Multiplikation der Einzelterme). 

Bezeichne die Konstante, die in diesem Term nötig ist, mit dem Formelbuchstaben k_C.

Bestimmung des Wertes der Konstante k_C

Die im oben angegeben Term nötige, aber noch nicht bekannte Konstante k_C können wir mit den bisher gewonnen Werten bestimmen.

Ergänze die vierte Zeile der folgenden Wertetabelle.

Trage anschließend die Wertepaare der vierten und fünften Zeile der Tabelle in einem q₁⋅q₂/r²-F_C-Diagramm auf.

Werte dieses q₁⋅q₂/r²-F_C-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der allgemein den Zusammenhang zwischen q₁, q₂, r und F_C beschreibt.

Aus theoretischen Gründen wird die Konstante k_C in der Form     $k_C=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ aufgeschrieben. Dabei ist die Konstante ε₀ die elektrische Feldkonstante.

Bestimme den Wert der elektrischen Feldkonstante ε₀.

Weise nach, dass die Maßeinheit der elektrischen Feldkonstante auch durch $[\varepsilon_0]=\dfrac{As}{Vm}$ gegeben ist.

In der oben stehende Aufgabe haben wir bei der Auswertung des r-F_C-Diagramms vorausgesetzt, dass der Betrag F_C der COULOMB-Kraft umgekehrt quadratisch (d.h. wie  $y(x) \sim  \dfrac{1}{x^2}$) vom Abstand r abhängt.

Durch ein besonderes Auswertungsverfahren, die sogenannte doppelt-logarithmische Auftragung der Werte, kann man auch ohne diese Voraussetzung zu den gleichen Ergebnissen wie oben kommen. Dieses Verfahren kannst du in der folgenden Aufgabe durchführen.

Aufgabe für Experten (nicht notwendig): 

Untersuchung der Abhängigkeit des Betrags F_C der COULOMB-Kraft vom Abstand r durch doppelt-logarithmische Auftragung

Wenn wir davon ausgehen, dass der Betrag F_C der COULOMB-Kraft vom Abstand r  durch eine Potenzfunktion mit reellem Exponenten (d.h. $y(x) \sim  x^{\alpha}$  mit  $\alpha  \in \mathbb{R}$)  abhängt, so kann man den Exponent α sowie den Proportionalitätsfaktor C durch doppelt-logarithmische Auftragung der Wertepaare bestimmen.

Wir setzen an mit $x: = \frac{r}{{\rm{m}}}$und $y: = \frac{{{F_{\rm{C}}}}}{{{\rm{N}}}}$ und erhalten so den Ansatz

$y = C \cdot {x^\alpha }$

Wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus an und nutzen die Logarithmengesetze aus, so erhalten wir

$\ln \left( y \right) = \ln \left( {C \cdot {x^\alpha }} \right) = \ln \left( C \right) + \alpha  \cdot \ln \left( x \right)$

Dies bedeutet, dass bei einer Auftragung von ln(y) gegen ln(x) der gesuchte Exponent die Steigung und der ln(C) der Ordinatenabschnitt einer Gerade sein sollten. Um diesen Ansatz durchzuführen musst du also folgende Arbeitsaufträge bearbeiten. 

Ergänze die zweite und die vierte Zeile der folgenden Wertetabelle. Es wird jeweils durch die Einheit geteilt, damit Logarithmus keine Einheit enthalten ist.

Trage anschließend die Wertepaare der zweiten und vierten Zeile der Tabelle in einem $\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)$-$\ln \left( \frac{F_{\rm{C}}}{\rm{N}} \right)$Diagramm auf.

Werte dieses  $\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)$-$\ln \left( \frac{F_{\rm{C}}}{\rm{N}} \right)$-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen r und F_C beschreibt.

Während im vorigen Kapitel das Coulomb’sche Gesetz auf "experimentellem" Wege untersucht wurde, soll es jetzt auf theoretischem Weg hergeleitet werden. Dazu ein Experiment zum Einstieg. Die Herleitung müsst ihr nicht selber vollziehen können 😀, nur dem gedanklichem Weg folgen können. Die gelb unterstrichenen Gebiete bitte ins Heft übernehmen.

Versuch:

In die Nähe einer geladenen Metallkugel wird ein Probekörper mit einer kleinen Ladung q gebracht, der im elektrischen Feld ausgelenkt wird. Die Auslenkung hängt dabei von der Feldstärke ab.

(Wenn man die Feldstärke durch Veränderung der Ladung Q auf der Kugel ändert, so ändert sich auch die Auslenkung.)

Um die geladene Kugel werden zwei Halbkugelschalen mit dem Radius r gelegt.

Beobachtung:

Die Auslenkung des Probekörpers ändert sich nicht. Das bedeutet, dass sich die Feldstarke am Ort der Probeladung nicht verändert hat.

Durch Influenz kommt es auf den Kugelschalen zur Ladungstrennung:

Die durch Influenz hervorgerufene Ladung ist genau so groß wie die Ladung der Kugel.

Die elektrische Feldstärke um die Kugel herum bleibt also gleich. Sie hängt nicht vom Kugelradius ab sondern nur vom Abstand zum Kugelmittelpunkt.

Erklärung: Die Ladungsmenge Q verteilt sich auf eine größere Fläche. Bei größerem Abstand ist damit der Quotient aus Ladung und Fläche  $\dfrac{Ladung}{Fläche}$  kleiner.

Dieser Quotient wird als Flächenladungsdichte σ (Sigma) bezeichnet.

Flächenladungsdichte  $\sigma=\dfrac{Q}{A}$  

Die Fläche A einer Kugel beträgt $A=4\pi r^{2}$

Damit gilt für die Flächenladungsdichte:                                $\sigma=\dfrac{Q}{4 \pi r^{2}}$        (1)

Aus   $C=\dfrac{Q}{U}$    und     $C=\varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{A}{d}$

    folgt (mit  ε_r=1 ):  $\dfrac{Q}{U}=\varepsilon_0 \dfrac{A}{d} \quad \vert :A    \quad \vert \cdot U$

     $\dfrac{Q}{A}=\varepsilon_0 \dfrac{U}{d}$

Dabei entspricht der Quotient $\dfrac {Q}{A}$     der Flächenladungsdichte σ (s.o.) und $\dfrac {U}{d}$   der elektrischen Feldstärke E.

Hinweis:   Streng genommen gilt das zwar nur im homogenen Feld, aber in einem sehr kleinen Bereich um die Ladung herum kann man die Feldstärke als homogen ansehen.

Es gilt also: $\sigma =\varepsilon _{0}\cdot E$            (2)    Flächenladungsdichte im homogenen Feld

Aus den Gleichungen (1) und (2) ergibt sich:   $\dfrac {Q}{4\pi r^{2}}=\varepsilon _{0}\cdot E$

       und damit        $E=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q}{r^{2}}$

Damit haben wir den gesuchten Zusammenhang für die elektrische Feldstärke gefunden.

Die elektrische Feldstärke um eine geladene Kugel herum hängt also ab von:

• Abstand r  zum Kugelmittelpunkt
• Ladung Q auf der Kugel

Dass der Radius quadratisch im Nenner steht, bedeutet:

Die Feldstärke verkleinert sich mit dem Quadrat des Abstandes.

Verdoppelt sich also der Abstand zum Kugelmittelpunkt der geladenen Kugel, so verkleinert sich die elektrische Feldstärke um den Faktor 4.

Bei Halbierung des Abstandes vervierfacht sich die Feldstärke.

Feldstärke im Radialfeld

Die Feldstärke in einem Radialfeld lässt sich berechnen mit: $E=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q}{r^{2}}$     

Dabei entspricht r dem Abstand zum Kugelmittelpunkt.

Welche Kraft wirkt auf einen geladenen Körper im Radialfeld?

Die Kraft auf einen geladenen Körper bzw. auf eine Probeladung hängt von der Feldstärke und außerdem von der Probeladung selbst ab.

Für die Kraft auf eine Probeldaung q in einem elektrischen Feld gilt:  $F=E\cdot q$.

Um die Kraft zu berechnen, muss man also nur die elektrische Feldstärke mit der Probeladung q multiplizieren. Mit der oben hergeleiteten Formel für die elektrische Feldstärke ergibt sich für die Kraft im Radialfeld:     $F=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q\cdot q}{r^{2}}$

Dieser Zusammenhang wird als Coulomb’sches Gesetz bezeichnet.

Coulomb’sches Gesetz

Befindet sich in einem Radialfeld mit der felderzeugenden Ladung Q ein geladener Körper mit der Ladung q

, dann beträgt die Feldkraft auf diesen geladenen Körper: $F=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q\cdot {q}}{r^{2}}$        

Die Kraft auf den geladenen Körper kann je nach Vorzeichen der Ladungen entweder anziehend oder abstoßend sein.

Dabei ist es im Grunde egal, welche Ladung als Q und welche als q bezeichnet wird. Beide Ladungen können auch gleich groß sein und sind völlig gleichberechtigt. Bei der Kraft handelt es sich schließlich um eine Wechselwirkung zwischen beiden Ladungen.

So kann man die beiden Ladungen auch mit Q₁ und Q₂ bezeichnen und allgemein schreiben:$F=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q_{1}\cdot {Q_{2}}}{r^{2}}$

Dieses Gesetz wurde im Jahr 1785 von Charles Augustin Coulomb durch Versuche mit einer Torsionswaage gefunden.

Info:

Das Coulomb’sche Gesetz hat die gleiche Form wie das Newtonsche Gravitationsgesetz. Dieses beschreibt die Kraft zwischen Massekörpern.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet:          $F=G\cdot \dfrac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}$

Das Gravitationsgesetz beschreibt analog zum Coulombschen Gesetz die Kraft, mit der sich zwei Massen m₁ und m₂ mit dem Abstand r ihrer Massenmittelpunkte gegenseitig anziehen. Die Gravitationskonstante G entspricht in dieser Formel dem Term mit der elektrischen Feldkonstanten ε₀.

Der Literaturwert für die Gravitationskonstante beträgt $G=6,67408\cdot 10^{-11}\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}$

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