Arbeit und Potential

Wiederholung EF:

Die Energie eines physikalischen Systems beschreibt seine Fähigkeit Arbeit zu verrichten. Oder verkürzt: Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten. Die Einheit, in der Energie/Arbeit gemessen werden, ist Joule (J). Dabei gilt folgende Umrechnung:

1J=1 Nm=1 kg m²s⁻²

Im denkbar einfachsten Fall ist die geleistete Arbeit W dabei gleich dem Produkt aus dem Betrag F der Kraft und der Länge s des Weges: Zeigen nämlich Kraftvektor $\vec{F}$und Wegvektor $\vec{s}$ die gleiche Richtung und ist die Kraft längs des Weges konstant, so gilt:  $W=F  \cdot  s$

Es stellt sich die Frage, wie sich die Beziehung verändert, falls die obigen Voraussetzungen in einem bestimmten Fall nicht zutreffen sollten.

Nehmen wir an, dass die Kraft zwar betragsmässig konstant ist, aber in eine andere Richtung als der Wegvektor  zeigt, so ist die Projektion des Kraftvektors auf den Wegvektor zu bestimmen mit

$W= F \cdot s\cdot cos(\alpha)$

Die rechte Seite der Gleichung ergibt sich aus elementaren Regeln des Skalarprodukts in der Vektorrechnung, wobei α den Winkel zwischen der Kraft- und Wegrichtung bezeichnet.

Der allgemeine Fall berücksichtigt sowohl die Richtungs- als auch Betragsänderung der Kraft F längs eines Weges. Wird der Weg durch eine Kurve beschrieben, so ist die Arbeit als Integral darstellbar:

 $W= \int_C  \vec{F} \cdot d\vec{s} =\int_C F \cdot  cos(\alpha) ds$

Arbeit an einer Punktladung im Plattenkondensator

Für homogene Felder kann man die folgende Formel verwenden.

$W=F \cdot s= Q \cdot E \cdot s = Q \cdot U$

Q = Ladung des Körpers, E = Feldstärke

U = Spannung zwischen Ausgangspunkt und Endpunkt, s = Weg parallel zu den Feldlinien

Ladungen 1 und 2 legen zwar unterschiedlich lange Strecken zurück, der Anteil parallel zu den Feldlinien ist jedoch gleich, daher ist der Betrag der verrichteten Arbeit auch gleich.

Ladung 3 bewegt sich senkrecht zu den Feldlinien, d.h. der Weg parallel zu den Feldlinien ist 0, es wird keine Arbeit verrichtet.

Arbeit in inhomogenen Feldern

Bei inhomogenen Feldern gestaltet sich die Berechnung der Arbeit schwieriger, da die Feldkraft während der Bewegung nicht konstant ist.

Bei dem Radialfeld einer Punktladung hängt die Feldkraft von dem Abstand r ab. Man kann die Arbeit ermitteln, indem man über der Feldkraft integriert:

W= \int  \limits _{r_1} ^{r_2} F \cdot  dr

Setzt man nun die Coulombkraft ein, erhält man:

$W = \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \int \limits_{r_1}^{r_2} \dfrac{1}{r^2} \,\,\mathrm{d}r =  \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} \right)$

Q₁ = Ladung der Punktladung, Q₂ = Ladung des Körpers,
r₁ = Abstand bei Ausgangsposition, r₂ = Abstand bei Endposition

Das folgende Bild zeigt 2 Ladungen (q₁=q₂=−e) in einem inhomogenen Feld und zeigt den Weg parallel zu den Feldlinien.

Man erkennt hier auch gut, dass die verrichtete Arbeit nur vom Ausgangs- und Endpunkt bestimmt wird. Ob sich die Ladungen dabei gradlinig oder mit vielen Kurven bewegen ist nicht von Bedeutung.

Potentielle Energie E_pot

Auch die potentielle Energie sollte aus der Einführungsphase bekannt sein. Im Gravitationsfeld der Erde ist sie umso größer, je weiter ein Körper vom Erdmittelpunkt entfernt ist, d.h. je höher er über der Erdoberfläche ist.

Das folgende Bild zeigt die Analogie zwischen der potentiellen Energie im Gravitationsfeld und der potentiellen Energie im elektrische Feld.

Bei dem Gravitationsfeld links wurde festgelegt, dass die potentielle Energie an der Erdoberfläche 0 ist. Hebt man nun einen Körper um eine bestimmte Höhe an, so ist die dabei verrichtete Arbeit in der potentiellen Energie des Körpers gespeichert.

Animation

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/downloads/homogenes-elektrisches-feld-potenzielle-energie-simulation

Ziemlich ähnlich ist es bei dem homogenen elektrischen Feld rechts. Hier wurde festgelegt, dass die potentielle Energie an der negativ geladenen Platte 0 ist. Bewegt man nun den geladenen Körper, so wird die verrichtete Arbeit in der potentiellen Energie des Körpers gespeichert.

Potentielle Energie in inhomogenen Feldern

Bei einem inhomogenen Radialfeld um eine Punktladung wird meist festgelegt, dass die potentielle Energie in unendlicher Entfernung von der Punktladung Null ist.

$E_{pot} = \Delta W = \dfrac{Q \cdot q}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} \right) = \dfrac{Q \cdot q}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \left( \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{\infty} \right) = \dfrac{Q \cdot q}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \dfrac{1}{r_1}$

Wenn man sich vorstellt, dass das elektrische Feld von einer Ladung Q erzeugt wird und eine Ladung q im Feld bewegt wird, so ist die potentielle Energie abhängig von der Ladung des Probekörpers.

Gesucht ist eine Größe, die unabhängig vom Probekörper ist. Dazu wird die verrichtet Arbeit bzw. die potentielle Energie durch die Ladung des Probekörpers geteilt

Dieser Quotient wird als elektrisches Potential $\varphi$  gegenüber dem Punkt P₀ bezeichnet und gibt an, welche Energie eine bestimmte Ladung q im Feld aufnehmen kann bzw. welche Energie man braucht, um diese Ladung von Punkt P₀ zu einem Punkt P_i zu bringen. Jeder Ort in einem elektrischen Feld hat ein bestimmtes elektrisches Potential ϕ. Dieses ist ein Maß dafür, wie hoch die potentielle Energie eines geladenen Körpers an diesem Ort ist.

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential $\varphi_{0i}$ eines Punktes P_i (im Bezug auf P₀) im elektrischen Feld ist der Quotient aus der Energie E_pot, die man benötigt, um einen geladenen Probekörper vom Punkt P₀ nach P_i zu bringen, und seiner Ladung: $\varphi _{0i}=\dfrac {E _{pot}}{q}$

Die Einheit des elektrischen Potentials ist 1 V.

Es gilt für das homogene Feld:

$E_{pot} = q \cdot E \cdot s \qquad \Rightarrow \qquad \phi = E \cdot s$

Und es gilt für das inhomogene Feld:

$E_{pot} = \dfrac{Q \cdot q}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \dfrac{1}{r} \qquad \Rightarrow \qquad \phi = \dfrac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r} \cdot \dfrac{Q}{r}$

Animation:

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/downloads/homogenes-elektrisches-feld-potenzial-simulation

Beispiel:

In einem Plattenkondensator mit d = 10 cm und U = 500V besteht zwischen beiden Platten eine Spannung (Potentialdifferenz, s.u.) von 500V. Zwischen der Mitte der Platten und einer Platte ist die Potentialdifferenz gerade halb so groß, sie beträgt also 250 V.

Elektrische Spannung

Die elektrische Spannung U zwischen zwei Punkten P₁ und P₂ ist gleich der Differenz ihrer Potentiale: $U_{21}=\varphi_{2} - \varphi_{1}$

Spannung wird daher auch als Potentialdifferenz bezeichnet.

Das heißt, Spannung kann zwischen beliebigen Raumpunkten definiert werden. Hier in der Animation im homogenene Feld

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/downloads/homogenes-elektrisches-feld-spannung-simulation

aber auch im Radialfeld

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/downloads/coulomb-feld-spannung-simulation

Die Potenzialdifferenz bzw. Spannung ist dabei unabhängig davon, welcher Bezugspunkt als Null-Potenzial gewählt wurde.

Linien oder Flächen gleichen Potenzials nennt man Äquipotentiallinien oder Äquipotentialflächen. Sie stehen stets senkrecht zu den Feldlinien: 

Hier noch passende Animationen der Äquipotentiallinien:

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/downloads/potential-und-elektrische-spannung-homogenes-elektrisches-feld-animation

Hier wird das Potential in der Mitte eines Plattenkondensators variabel bestimmt.

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/downloads/homogenes-elektrisches-feld-aequipotenziallinien-simulation

Entsprechendes für das Radialfeld:

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/downloads/coulomb-feld-aequipotenziallinien-simulation

Beispielaufgabe:

Zwischen den beiden Platten eines Plattenkondensators liegt eine Spannung von U = 22,5V an. Der Abstand zwischen den Platten beträgt d = 3,0cm.

a) Wie groß ist die elektrische Feldstärke zwischen den Platten?

b) Ein positiv geladener Körper mit einer Ladung von Q = 6·10^–8C wird um 2,0 cm parallel zu den Feldlinien verschoben. Wie groß ist die Änderung seiner potentiellen Energie?

c) Wie groß ist das Potential der positiv geladenen Platte, wenn man das der negativ geladenen Platte null setzt?

Analyse:

Beim elektrischen Feld eines Plattenkondensators handelt es sich um ein homogenes Feld. Es können die dafür geltenden Zusammenhänge angewendet werden.

Gesuchte Größen: E, $\Delta E_{pot}=W$, $\varphi$

Gegebene Größen: $U=22,5V$,

$d=3,0cm=0,03m$,

$s=2,0cm=0,02m$,

$Q=6\cdot 10^{-8}C$

Lösung:

Nachtragen!!

Ergebnisse:

Aufgabe 2:

Das elektrische Feld einer komplizierteren Ladungsanordnung kann z.B. durch Überlagerung der Felder von Einzelladungen gewonnen werden. Hierzu muss man in jedem Raumpunkt die Feldstärkevektoren der Einzelfelder vektoriell addieren. Die Animationen zeigen dieses Verfahren

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/downloads/ueberlagerung-elektrischer-felder-animation

https://phet.colorado.edu/de/simulation/charges-and-fields

http://www.didaktikonline.physik.uni-muenchen.de/programme/e_feld/E_Feld.html#

Hier noch ein kleiner Quiz:

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/aufgabe/quiz-zum-elektrischen-feld

Und eine passende Aufgabe zum Feld zweier Punktladungen 

In einem Koordinatensystem seien zwei Punktladungen gegeben. Die eine befinde sich im Punkt L(0/0) und trage die Ladung $Q_L=-1,0 \cdot 10^{-11}C$, die andere im Punkt R(4/0) mit einer Ladung von $Q_R= 1,0 \cdot 10^{-11}C$. Im Koordinatensystem entspreche eine Einheit einer Länge von 1 cm in Wirklichkeit. 

a) Berechnen Sie die Kraft, die die Ladung Q_L auf die positive Probeladung $q=-1,0 \cdot 10^{-13}C$in den Punkten A(2/0), B(2/2) und C(4/-4) ausübt. Wiederholen Sie die Berechnung für die Ladung Q_R. 

b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Pfeiladdition die Kraft und die Richtung die die Probeladung an den Orten A, B, C erfährt. Geben Sie den Umrechnungsfaktor an, den Sie bei der Erstellung der Kraftpfeile verwendet haben. 

c) Nennen Sie weitere Punkte, an denen eine Probeladung denselben Betrag der Kraft erfährt, wie im Punkt C und zeichnen Sie diese in das Koordinatensystem ein. Rechtfertigen Sie ihre Entscheidung. 

d) Erstellen Sie ein Feldlinienbild unter Verwendung der bisherigen Informationen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit einer geeigneten Simulation auf einem Rechner.