Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld

Link zur Herleitung der Zentripetalbeschleunigung

Aufgabe 1:

Der Large Hadron Collider (LHC) ist ein Teilchenbeschleuniger am Europäischen Kernforschungszentrum CERN bei Genf. In einem 26,659km langen Ringtunnel, der sich in 50−175m Tiefe unter der Erde befindet, bewegen sich Protonen mit unvorstellbar hohen Geschwindigkeiten. Die Teilchen werden dabei von supraleitenden Magneten auf ihrer Bahn gehalten. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass es sich hierbei um eine Kreisbahn handelt.

a)Berechne unter der Annahme, dass der Ringtunnel kreisförmig ist, den Radius des Ringtunnels.

b)Die Forscher geben an, dass die Protonen im Ringtunnel eine (Bahn-)Geschwindigkeit von 99,9999991% der Lichtgeschwindigkeit erreichen. Berechne die Geschwindigkeit der Protonen in den Einheiten m/s und km/h.

c) Berechne, wie lange ein Proton für einen Umlauf im Ringtunnel benötigt. Berechne weiter, wie viele Umläufe ein Proton in einer Sekunde schafft.

d) Berechne die Zentripetalbeschleunigung, die ein Proton während der Bewegung erfährt.

e) Ein Ergebnis der Speziellen Relativitätstheorie von Albert EINSTEIN ist, dass die Masse m eines Körpers mit seiner Geschwindigkeit v zunimmt. Es gilt allgemein $m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}$. Hierbei ist m₀ die sogenannte Ruhemasse (für ein Proton m₀=1,673⋅10−²⁷kg) und c die Lichtgeschwindigkeit. 

Berechne die Masse eines Protons, wenn es sich im LHC bewegt.  Berechne den Betrag der Zentripetalkraft, die benötigt wird, um das Proton auf der Kreisbahn zu halten.

Aufgabe 2:

Unsere Erfahrung sagt uns, dass ein geworfener Stein wieder zur Erde fällt. Auch eine abgeschossene Kanonenkugel bleibt nicht oben. Angenommen man könnte einen Stein von einem sehr hohen Berg mit großer Geschwindigkeit waagerecht wegschleudern: Auf welcher Bahnkurve wird sich dieser Stein bewegen?

Über diese Frage dachte bereits Isaac NEWTON im 17. Jahrhundert nach, und er kam zu dem Schluss, dass bei einer bestimmten Geschwindigkeit der Stein den Erdboden nicht mehr erreichen, sondern unendlich lang auf einer Kreisbahn um die Erde "herumfallen" wird. Natürlich ist eine Kreisbewegung direkt an der Erdoberfläche aufgrund der Erhebungen und der Luftreibung real nicht möglich.

Berechne den Betrag der Bahngeschwindigkeit, mit der ein derart weggeschleuderter Stein eine Kreisbewegung ausführen würde, wenn du idealisierte Bedingungen (keine Erhebungen, keine Luftreibung) voraussetzt.

Wir wollen nun untersuchen, wie sich bewegte Elektronen verhalten, die in ein Magnetfeld gelangen.

Außerdem wollen wir überlegen, ob durch die Ablenkung von Elektronen im Magnetfeld die Elektronenmasse bestimmbar ist – dies war durch die Ablenkung im elektrischen Feld nicht möglich, da die Geschwindigkeit der Elektronen nicht ohne deren Masse bestimmbar ist.

Außerdem ist die Ablenkung von Elektronen mit einer bestimmten Geschwindigkeit im elektrischen Feld von der Elektronenmasse unabhängig.

Zur Erinnerung:

Für die Geschwindigkeit von Elektronen, die mit der Spannung U beschleunigt wurden, gilt: $v=\sqrt {\dfrac {2Ue}{m_{e}}}$

Die Kraft auf Elektronen im Magnetfeld beträgt $F_{L}=B\cdot e \cdot v$

Durch Umstellen dieser Gleichung nach v ergibt sich $v=\dfrac {F_{L}}{Be}$

Damit haben wir eine zweite Gleichung für die Geschwindigkeit, die sich aus der Kraftwirkung auf Elektronen im Magnetfeld ergibt.

Vielleicht lassen sich beide Gleichungen miteinander verknüpfen?

Dazu soll zunächst das Verhalten von Elektronen im Magnetfeld untersucht werden.

Untersuchung von Elektronen im Magnetfeld

Vorüberlegung:

Während Elektronen innerhalb eines elektrischen Feldes immer parallel zur Feldlinienrichtung beschleunigt / abgelenkt werden, wirkt die Lorentzkraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen und senkrecht zum Magnetfeld.

Das bedeutet:

Ändert sich die Bewegungsrichtung der Elektronen, so ändert sich auch die Richtung der Lorentzkraft.

Versuch:

In einem sogenannten Fadenstrahlrohr lässt sich die Bahn von Elektronen untersuchen. Die Elektronenbahn wird durch ein sich darin befindliches Gas sichtbar gemacht – treffen die Elektronen auf die Gasmoleküle, so leuchten diese auf.

Das Fadenstrahlrohr enthält eine Elektronenkanone, in der Elektronen mit Hilfe einer Spannung zwischen 0 und 300V beschleunigt werden können.

Durch eine spezielle Spulenanordnung (Helmholtz-Spulenpaar) wird ein nahezu homogenes Magnetfeld erzeugt, welches das Fadenstrahrohr durchsetzt.

Versuchsaufbau: 

Das Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei Spulen, deren Abstand gleich dem Spulenradius ist. Die Spulen erzeugen durch Überlagerung ihrer Felder so ein weitgehend homogenes Magnetfeld, welches die gesamte Röhre umfasst. Dazu muss der Erregerstrom I_err in beiden Spulen in die gleiche Richtung fließen.

Je nach Stromrichtung zeigen die Magnetfeldlinien in der Abbildung entweder nach hinten oder nach vorne.

Die magnetische Feldstärke des erzeugten Feldes hängt ab von

• Erregerstromstärke I_err  (variabel)
• Windungszahl n  (fest)
• Spulenradius R  (fest)

Da Windungszahl n und Spulenradius R nicht veränderlich sind, lässt sich nur über die Erregerstromstärke die magnetische Feldstärke einstellen.

Die magnetische Feldstärke innerhalb der Helmholtz-Spulenanordnung lässt sich mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes herleiten. Damit ergibt sich folgender Zusammenhang:  $B=\mu_{0}\cdot \dfrac {8}{\sqrt {125}}\cdot \dfrac {n\cdot I}{R}$

Die Herleitung findet man u.a. auf der Wikipedia-Seite zur Helmholtz-Spule.

In der Versuchsanleitung von Leybold findet man mit R=0,15 m und n=130 findet man die folgende Formel, die der oben genannten entspricht: $B=0,67 \dfrac{mT}{A}\cdot I_{err}$

Alternativ kann die magnetische Feldstärke mit einer Hallsonde gemessen werden.

Hier noch ein Link zum Versuchsaufbau:  https://virtuelle-experimente.de/b-feld/b-feld/versuchsaufbau.php

Übung 1: Ordne die Teile richtig zu https://virtuelle-experimente.de/b-feld/uebungen/Zuordnung.php

Durchführung

Die Beschleunigungsspannung wird auf einen Wert von ca. 250-300V eingestellt. Um den Elektronenstrahl erkennen zu können, muss der Raum vollständig abgedunkelt werden.

Der Elektronenstrahl ist nach unten gerichtet und verläuft zunächst geradlinig:

Anschließend wird die Erregerstromstärke und damit die magnetfische Feldstärke langsam vergrößert.

Beobachtung

Steht das Magnetfeld senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen, beschreiben die Elektronen eine Kreisbahn:

Dargestellt und im Foto überlagert sind verschiedene Aufnahmen bei unterschiedlichen magnetischen Flussdichten.

Steht das Magnetfeld nicht ganz senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen, beschreiben sie eine spiralförmige Bahn.

Folgendes Bild zeigt die Sicht von oben:

Diese Schraubenbahn kommt dadurch zustande, dass es eine zum Magnetfeld senkrechte und eine parallele Komponente der Geschwindigkeit gibt.

Zuerst sollst du Vermutungen anstellen, wovon die Bahn der Elektronen abhängt:

https://virtuelle-experimente.de/b-feld/b-feld/hypothesen.php

Überprüfe anschliessend die Hypothesen

https://virtuelle-experimente.de/b-feld/b-feld/pruefen.php

Wie kann man durch die Untersuchung von Elektronen im Magnetfeld die Masse eines Elektrons bestimmen?

Wir erstellen eine Skizze, in der sowohl Elektronenbahn (rot) als auch das Magnetfeld (grün) eingezeichnet ist:

Erklärung der Kreisbahn:

Die Lorentzkraft steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen. Dadurch werden die Elektronen auf eine Kreisbahn gezwungen. Die Lorentzkraft ist stets zum Kreismittelpunkt gerichtet und wirkt daher als Zentripetalkraft.

Je stärker das Magnetfeld ist, umso größer ist die Lorentzkraft und umso kleiner ist damit der Radius der Kreisbahn.

Die Lorentzkraft F_L wirkt als Zentripetalkraft F_Z und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn mit dem Radius r.

In jedem Punkt der Kreisbahn gilt also:  $F_{Z}=F_{L}$

Zur Erinnerung: Für die Zentripetalkraft gilt:     $F_{Z}=m\dfrac {v^{2}}{r}$

In diesem Fall ist die Masse die gesuchte Elektronenmasse m_e, und v ist der zum Magnetfeld senkrechte Anteil der Geschwindigkeit der Elektronen v_s.

Es gilt also:     $m_{e}\dfrac {v_{s}^{2}}{r}=Bev_{s}$

Hinweis:  Die Zentripetalbeschleunigung a_z bewirkt nur eine Richtungsänderung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant. Steht das Magnetfeld senkrecht zur Geschwindigkeit, verrichtet es keine Arbeit.

Nun lösen wir die oben aufgestellte Gleichung nach m_e auf und erhalten: $m_{e}=\dfrac {Bev_{s}r}{v_{s}^{2}}$

Kürzen mit v_s ergibt  $m_{e}=\dfrac {Ber}{v_{s}}$     (1)

Welche Größen dieser Gleichung sind bekannt, welche können bestimmt werden?

Wenn es möglich ist, alle Größen in Gleichung (1) zu bestimmen, lässt sich die Elektronenmasse berechnen.

Eine Analyse aller Größen ergibt:

Elementarladung e:

→ bekannt aus Millikan-Experiment

Magnetische Feldstärke B:

→ kann mit einer Hallsonde gemessen oder mit Hilfe der Formel aus der Versuchsanleitung (s.o.) berechnet werden.

Radius r der Kreisbahn:

→ kann mit Hilfe von Markierungen im Fadenstrahlrohr abgelesen werden.

Geschwindigkeit v_s der Elektronen:

Die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen die Anode verlassen, ist nicht bekannt, aber mit Hilfe des Ansatzes der Energieerhaltung (E_kin = E_el) haben wir bereits folgenden Zusammenhang hergeleitet (s.o.):

Es gilt:      $v=\sqrt {2U_{B}\dfrac {e}{m_{e}}}$    (2)

Aufstellen der Gleichung zur Berechnung der Elektronenmasse

Nun setzen wir den Zusammenhang für die Geschwindigkeit (2) in Gleichung (1) ein.

Um die Wurzel loszuwerden, werden zunächst beide Gleichungen quadriert:

Quadrieren von Gleichung (1) ergibt  $v_{s}^{2}=2U\dfrac {e}{m_{e}}$

Quadrieren von Gleichung (2) ergibt  $m_{e}^{2}=\dfrac {B^{2}e^{2}r^{2}}{v_{s}^{2}}$

Setzt man nun den Ausdruck von v_s² in die quadrierte Gleichung (1), erhält man  $m_{e}^{2}=\dfrac {B^{2}e^{2}r^{2}m_{e}}{2U_{B}e}$

Nun kann man e und m_e kürzen und erhält schließlich für die Elektronenmasse $m_{e}=\dfrac {B^{2}er^{2}}{2U_{B}}$   (3)

Alle Größen auf der rechten Seite können gemessen werden. Mit dieser Gleichung lässt sich also die gesuchte Elektronenmasse berechnen.

Magnetische Feldstärke B

Die magnetische Feldstärke B kann entweder mit einer Hallsonde gemessen und direkt in die Gleichung eingesetzt oder mit der Formel aus der Versuchsanleitung (s.o.) berechnet werden:    $B=0,67 \dfrac{mT}{A}\cdot I_{err}$   (4)

Misst man nun die Erregerstromstärke I_err, kann die magnetische Feldstärke berechnet werden.

Vorgehensweise zur Ermittlung der Elektronenmasse

Es wird eine feste Beschleunigungsspannung eingestellt und anschließend die Erregerstromstärke so eingestellt, dass der Elektronenstrahl eine der Markierungen im Fadenstrahlrohr streift. Die Markierungen sind so angebracht, dass die Radien 2, 3, 4 und 5cm recht genau eingestellt werden können.

Für jeden Radius wird die benötigte Erregerstromstärke abgelesen. Daraus kann anschließend mit Hilfe von Gleichung (4) die magnetische Feldstärke berechnet werden.

Eine Überprüfung der Feldstärke mit einer Hallsonde ergibt weitgehend die gleichen Werte.

Messwerte:

Neben den im Unterricht gemessenen Werten kannst du auch eine Simulation benutzen

https://virtuelle-experimente.de/b-feld/e-m-bestimmung/edurchm.php

Spezifische Ladung von Elektronen

In den meisten Physikbüchern wird mit Hilfe des Versuchs mit dem Fadenstrahlrohr anstelle der Elektronenmasse die sogenannte spezifische Ladung eines Elektrons ermittelt.

Darunter versteht man den Quotienten aus Ladung und Masse  $\dfrac {e}{m}$. Die Einheit lautet $\dfrac {C}{kg}$.

Die spezifische Ladung gibt praktisch an, welche Ladung 1kg Elektronen haben.

Der Literaturwert der spezifischen Ladung für Elektronen beträgt $\dfrac {e}{m}=1,759\cdot 10^{11}\frac {C}{kg}$

Berechnung der Geschwindigkeit der Elektronen

Da nun die Elektronenmasse bekannt ist, kann auch die Geschwindigkeit der Elektronen nach ihrer Beschleunigung im elektrischen Feld berechnet werden.

Für die Geschwindigkeit gilt (s.o.):  $v=\sqrt {2U_{B}\dfrac {e}{m_{e}}}$

Die Beschleunigungsspannung betrug in unserem Versuch U_B = 250V. Daraus ergibt sich folgende Geschwindigkeit: $v=\sqrt {2\cdot 250V\cdot \dfrac {1,602\cdot 10^{-19}C}{9,109\cdot 10^{-31}kg}}=9.377.367\dfrac {m}{s}$

Das entspricht ca. 3% der Lichtgeschwindigkeit.

Beim Versuch mit der Elektronenstrahlablenkröhre haben wir Beschleunigungsspannungen von ca. 5kV benutzt. Das ist das 20-fache der in diesem Versuch verwendeten Spannung von 250V.

Da die Beschleunigungsspannung in der Formel für die Geschwindigkeit unter der Wurzel steht, vergrößert sich die Geschwindigkeit bei einer Verzwanzigfachung der Beschleunigungsspannung um den Faktor $\sqrt {20}$= 4,47.

Die Geschwindigkeit der Elektronen betrug dort also etwa 42.000.000 m/s. Das sind knapp 14% der Lichtgeschwindigkeit.

Elektronen schneller als das Licht?

Wenn die Formel für die Geschwindigkeit uneingeschränkt gültig ist, dürfte es kein Problem sein, Elektronen auf Überlichtgeschwindigkeit zu beschleunigen. Um die Beschleunigungsspannung zu berechnen, die notwendig wäre, um Elektronen auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen, muss man nur die Formel nach U_B umstellen und für die Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c einsetzen:  $U_{B}=\dfrac {c^{2}m_{e}}{2e}=255,5kV$

Es ergibt sich eine Beschleunigungsspannung von knapp 256 kV. Diese Spannung ist zwar größer als die, die wir im Unterricht erzeugen können, technisch ist es aber kein Problem, Elektronen mit dieser oder noch höherer Spannung zu beschleunigen.

Trotzdem erreichen die Elektronen auch mit dieser Beschleunigungsspannung nicht die Lichtgeschwindigkeit, denn bei sehr hohen Geschwindigkeiten treten relativistische Effekte auf: Die Elektronen verhalten sich so, als würde ihre Masse zunehmen, was zur Folge hat, dass immer mehr Energie benötigt wird, um sie weiter zu beschleunigen. Man spricht von relativistischer Massenzunahme.

Dieser Effekt spielt allerdings erst bei sehr hohen Geschwindigkeiten eine Rolle. Bis zu einer Beschleunigungsspannung von ca. 10kV kann mit konstanter Masse gerechnet werden (die Geschwindigkeit der Elektronen beträgt dann knapp 20% der Lichtgeschwindigkeit). Hier liegt der Fehler bei ca. 1,5%.

Relativistische Masse / Ruhemasse

Bei Objekten mit sehr hoher Geschwindigkeit muss aufgrund der relativistischen Effekte mit der relativistischen Masse gerechnet werden.

Die Elektronenmasse, die man in Formelsammlungen findet (s. Literaturwert oben), wird als Ruhemasse bezeichnet.

Zur mathematischen Beschreibung der Schraubenbahn werden parallele und senkrechte Bewegung zunächst getrennt betrachtet. Dazu wird v₀  mittels Winkelfunktionen in seine Komponenten v_∥ und v_⊥ zerlegt.

Bewegung senkrecht zum Magnetfeld:

Hier gilt analog zum Experiment mit der Kathodenstrahlröhre $F_{\rm{Lorentz}}=F_{\rm{Zentripetal}}\qquad \Rightarrow\qquad e\cdot v_{\perp}\cdot B=m_e\frac{v_{\perp}^2}{r}$

Daraus folgt für den Radius der Schraubenbahn: $r=\frac{v_{\perp}\cdot m_e}{e\cdot B}$

Mit $v_{\perp}=\omega\cdot r$  ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit  $\omega$ und mit $\omega=\frac{2\pi}{T}$ folgt für die Umlaufdauer T

 der Elektronen $T=\frac{2\pi\cdot m_e}{e\cdot B}$

Bewegung parallel zum Magnetfeld:

Hier wirken keine Kräfte auf die Elektronen. Die Elektronen bewegen sich geradlinig-gleichförmig. Die Strecke, die die Elektronen parallel zum Magnetfeld zurücklegen, während sie eine volle Umdrehung auf der Kreisbahn machen, wird Ganghöhe h genannt und berechnet sich mit:  $h=v_{\parallel}\cdot T=\frac{2\pi\cdot m_e \cdot v_{\parallel}}{e\cdot B}$.

Mit Hilfe von Magnetfeldern lassen sich geladene Teilchen ablenken, wobei die Ablenkung von der Masse der Teilchen abhängt. Dieses Phänomen lässt sich dafür nutzen, die Masse von (geladenen) Teilchen zu bestimmen. Bewegen sich geladene Teilchen senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes, so bewegen sie sich auf Kreisbahnen.

Der Radius hängt  neben der Masse der geladenen Teilchen auch von ihrer Geschwindigkeit ab.

Damit man aus der Ablenkung geladener Teilchen auf die Masse schließen kann, müssen alle zu untersuchenden Teilchen die gleiche Ladung $q$ und die gleiche Geschwindigkeit besitzen.

Geschwindigkeitsfilter nach Wien

Um nur Teilchen mit einer definierten Geschwindigkeit zu erhalten, kann man einen Geschwindigkeitsfilter nach Wien benutzen. Ein solcher Filter besteht aus einem gekreuzten elektrischen und magnetischen Feld:

Die geladenen Teilchen gelangen in einen Plattenkondensator, indem zusätzlich zum elektrischen Feld ein magnetisches Feld existiert. Die magnetischen Feldlinien stehen senkrecht auf den elektrischen Feldlinien.

Ein negativ geladenes Teilchen, das sich senkrecht zu deb elektrischen und magnetischen Feldlinien bewegt, erfährt durch das elektrische Feld die Kraft  $F_{el}=q \cdot E$ nach oben und durch das magnetische Feld die Lorentzkraft  $F_{L}=q \cdot v \cdot B$ nach unten.

Für den Fall, dass beide Kräfte gleich groß sind, werden die Teilchen nicht abgelenkt und können so den Plattenkondensator auf geradem Weg durchqueren.

In diesem Fall gilt: $F_{el}=F_{L}$

$q\cdot E=q\cdot v\cdot B$

Die Ladung $q$  lässt sich kürzen, sie spielt also keine Rolle.

Die Geschwindigkeit, für die die Bedingung erfüllt ist, beträgt demnach $v=\dfrac {E}{B}$

Alle Teilchen mit dieser Geschwindigkeit passieren den Filter ohne Richtungsänderung.

Bei Teilchen mit kleinerer Geschwindigkeit überwiegt die elektrische Kraft, daher werden diese nach oben abgelenkt.

Bei Teilchen mit größerer Geschwindigkeit überwiegt die Lorentzkraft, daher werden diese nach unten abgelenkt.

Alle Teilchen, die durch die Lochblende gelangen, haben demnach die gleiche Geschwindigkeit – unabhängig von ihrer Masse und Ladung. Daher wirkt die Anordnung als Geschwindigkeitsfilter.

Hinweis:

Da ungeladene Teilchen weder im elektrischen noch im magnetischen Feld eine Kraft erfahren, würden auch alle ungeladenen Teilchen unabhängig von ihrer Geschwindigkeit den Filter passieren.

Massenspektrometer nach Bainbridge

Um die Masse der Teilchen zu untersuchen, lässt man den Teilchenstrahl hinter dem Wienfilter in ein weiteres Magnetfeld B‘ eintreten. Auf die geladenen Teilchen wirkt nun nur die Lorentzkraft, die diese wie im Fadenstrahlrohr auf eine Kreisbahn zwingt.

Da alle Teilchen die gleiche Geschwindigkeit haben, hängt der Bahnradius für Teilchen gleicher Ladung im Magnetfeld nur von der Masse der Teilchen ab bzw. für Teilchen unterschiedlicher Ladung von ihrer spezifischen Ladung $\dfrac {q}{m}$.

Die Lorentzkraft auf geladene Teilchen im zweiten Magnetfeld B‘ beträgt $F_{L}=q\cdot v\cdot B'$.

Sie wirkt als Zentripetalkraft und zwingt die Teilchen auf eine Kreisbahn mit dem Radius r. Wir können also wieder den Ansatz des Kräftegleichgewichts verwenden: $F_{L}=F_{Z}$

$q\cdot v\cdot B'=m\dfrac {v^{2}}{r}$

Damit ergibt sich für den Radius $r=\dfrac {m\cdot v}{q\cdot B'}$

Für die Geschwindigkeit der Teilchen gilt (s.o.): $v=\dfrac {E}{B}$

Eingesetzt ergibt sich:  $r=\dfrac {m\cdot E}{q\cdot B\cdot B'}$

Sind die Magnetfelder B und B‘ gleich groß, gilt: $r=\dfrac {m\cdot E}{q\cdot B^{2}}$

Teilchen unterschiedlicher Masse treffen also in einem anderen Abstand $d=2r$ auf den Detektor.

Aus dem Abstand lässt sich dann die Masse der Teilchen berechnen, indem man die Gleichung nach m umstellt: $m=\dfrac {q\cdot B\cdot B'\cdot r}{E}$       bzw.        $m=\dfrac {q\cdot B^{2}\cdot r}{E}$   für  $B = B'$

Hinweis:

Es lassen sich auf diese Art nur die Massen geladener Teilchen bestimmen. Außerdem muss die Ladung bekannt sein, denn Teilchen mit doppelter Ladung und doppelter Masse 

Animation bei Leifiphysik

neuer Link

Wir hatten bei der Besprechung von elektrischen Feldern schon gesehen, dass man geladene Körper auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigen kann. Ein solchen kompakten Teilchenbeschleuniger kann man unter Nutzung von Magnetfeldern konstruieren.

Aufbau:

Ein Zyklotron besteht aus zwei hohlen, halbkreisförmigen Metallelektroden, den sog. Duanten. An die Duanten ist eine hochfrequente Wechselspannung angeschlossen, die die Duanten abwechselnd positiv und negativ lädt. Durch die gegensätzliche Ladung der beiden Duanten entsteht im Spalt zwischen den Duanten ein starkes elektrisches Feld. Oberhalb und unterhalb der Duanten befinden sich Elektromagnete, die ein konstantes, homogenes Magnetfeld in den Duanten erzeugen. Zusätzlich befindet sich im Inneren eines Duanten eine Teilchenquelle, die freie Ionen abgibt.

Den Ablauf der Beschleunigung kann man auf folgender Animation verfolgen.

Animation 2

Funktion:

Die Teilchenquelle T gibt bspw. Protonen (positiv geladen) mit einer Geschwindigkeit v₀ in den Spalt zwischen den Duanten ab. Bei negativer Ladung von Duant 1 werden diese durch das E-Feld im Spalt beschleunigt. Tritt das Teilchen in den Duanten 1 ein, so verlässt es das E-Feld (jeder Duant wirkt als Faradayscher Käfig). Der Duant ist von dem B-Feld der Elektromagneten durchsetzt. Daher wirkt auf das Proton nun eine Lorentzkraft, die es auf eine Kreisbahn zwingt. Während sich das Proton im Duant 1 befindet, werden die Duanten umgepolt - das E-Feld ändert seine Richtung. Nach Durchlaufen eines Halbkreises verlässt das Proton den Duant wieder und tritt in das nun wieder passend ausgerichtete E-Feld. Es wird wiederum beschleunigt, bis es in Duant 2 eintritt. Hier wirkt wiederum eine Lorentzkraft, die zu einer Kreisbahn führt. Aufgrund der nun jedoch höheren Geschwindigkeit des Protons, ist der Radius dieser Bahn größer, als der Radius im Duanten 1 war. Längerer Weg und höhere Geschwindigkeit führen dazu, dass die Durchlaufzeit durch einen Duanten konstant bleibt.
Dieser Prozess wiederholt sich einige Male, wobei das Teilchen immer schneller und der Radius der Kreisbahn immer größer wird. Am Ende wird das Teilchen durch ein zusätzliches E-Feld einer Ablenkelektrode aus dem Duanten gelenkt und kann auf ein beliebiges Target geschossen werden.

Einschränkungen:

Ein Zyklotron dieser Art eignet sich nur für Beschleunigungen bis ca 0,1c, da ab hier die relativistische Massenzunahme dafür sorgt, dass die Umlaufdauer T nicht mehr konstant ist, sondern zunimmt. Daher gerat diese gegenüber der weiterhin konstanten äußereren Wechselspannung "aus dem Tritt", was zu einer nicht mehr optimalen Beschleunigung führt.
Aus diesem Grund werden mithilfe von Zyklotronen in der Regel schwere Teilchen wie Protonen oder Deuteronen beschleunigt. Diesen muss aufgrund ihrer hohen Massen verhältnismäßig viel Energie zugeführt werden, bis sie kritische Geschwindigkeiten erreichen. Leichte Teilchen wie Elektronen erreichen die kritische Geschwindigkeit schon nach wenigen Umläufen.
Protonen im klassischen Zyklotron mit Beschleunigungsspannungen von einigen hundert Volt erreichen nach etwa 50 Umläufen Energien von etwa 10 MeV. In der Medizin baut man Protonenbeschleuniger bis 250 MeV.

Berechnungen:

Die Lorentzkraft  $F_{\rm{Lorentz}}$ ist die notwendige Zentripetalkraft $F_{\rm{Zentripetal}}$ für die Kreisbahn:   $F_{\rm{Lorentz}}=F_{\rm{Zentripetal}}\Rightarrow q\cdot v\cdot B=\frac{m\cdot v^2}{r}\Rightarrow v=\frac{r\cdot q\cdot B}{m}$

mit q = Ladung des Teilchens, v = Geschwindigkeit des Teilchens, B = magnetische Flussdichte, m = Masse des Teilchens, r = Radius der Kreisbahn 

Mit $v=\omega\cdot r=2\pi \cdot f\cdot r$ folgt für die sog. Zyklotronfrequenz f   $2\pi \cdot f\cdot r=\frac{r\cdot q\cdot B}{m}\Rightarrow f=\frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$ 

mit ω=Winkelgeschwindigkeit,  f=Frequenz 

und für die Umlaufdauer T      $T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$

Die Zyklotronfrequenz f, die Umlaufdauer T und damit auch die Durchlaufzeit durch einen Duanten sind unabhängig vom Bahnradius r. Daher kann die Frequenz der angelegten Wechselspannung konstant bleiben.

Die kinetische Energie E_kin des Teilchens nimmt mit jedem Durchlauf durch das E-Feld um den Betrag $q\cdot U$ zu:   $E_{kin}(n)=E_{kin_0}+n\cdot q\cdot U=\frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+n\cdot q\cdot U$ 

E_kin0 = Kinetische Anfangsenergie beim Austritt aus Teilchenquelle, n = Anzahl der Durchläufe durch das E-Feld,  U = Spannung zwischen den Duanten 

Die Geschwindigkeit v des Teilchens ergibt sich aus seiner Anfangsgeschwinidgkeit v₀ beim Austreten aus der Teilchenquelle und der Anzahl n der Durchläufe durch das E-Feld zwischen den Duanten wie folgt:  $\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+n\cdot q\cdot U\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2}{m}\left( \frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+q\cdot U\cdot n\right)}$ 

Für v₀=0 gilt die einfachere Formel: :$v=\sqrt{\frac{2}{m}\cdot q\cdot U\cdot n}$

Ihr könnt euch das Ganze auch noch einmal im Video eines Kollegen anschauen. Am Ende des Videos ist ein Anwendung in der Medizin sehr schön erläutert.

https://www.youtube.com/watch?v=B41EQvhY5oM